삼각부등식

삼각부등식은 삼각방정식에서 등호 대신 <, >, ≤, ≥가 있는 것이다. 예를 들어 다음 부등식을 보자.

$$\sin x>\frac{1}{2}$$

사인이 2분의 1보다 큰 모든 x를 찾는다. 일의 일부는 이미 해 두었다. 방정식 $\sin x=\frac{1}{2}$은 삼각방정식 글에서 풀었고, 한 바퀴 안에서 해가 $\frac{\pi }{6}$와 $\frac{5\pi }{6}$ 두 개였다. 이 두 수가 경계 역할을 한다. 그 사이의 어딘가에서는 사인이 2분의 1보다 크고, 다른 곳에서는 작다. 어디인지 알아내기만 하면 된다.

단위원에서

단위원에서 가장 쉽게 볼 수 있다. 각의 사인은 원 위의 점의 y좌표이므로 부등식 $\sin x>\frac{1}{2}$은 결국 원 위의 어느 점이 직선 $y=\frac{1}{2}$보다 위에 있는지 묻는 것이다.

파란 직선은 원과 두 점에서 만나는데, 이 두 점은 각 $\frac{\pi }{6}$와 $\frac{5\pi }{6}$에 해당한다. 직선보다 위에 있는 것은 그 사이의 빨간 호뿐이다. 동경이 시계 반대 방향으로 $\frac{\pi }{6}$에서 $\frac{5\pi }{6}$까지 도는 동안은 사인이 2분의 1보다 크다. 호를 벗어나면 2분의 1보다 작아진다.

양 끝점은 해에 속하지 않으므로 그림에 빈 동그라미로 나타냈다. 끝점에서는 사인이 정확히 $\frac{1}{2}$인데, 구하려는 것은 2분의 1보다 큰 경우이기 때문이다. 따라서 한 바퀴 안에서는 다음 열린 구간을 얻는다.

$$(\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}).$$

그런데 사인은 주기가 2π인 주기함수이다. 한 바퀴를 돌 때마다 모든 것이 되풀이된다. 그래서 양 끝에 2kπ를 더하면 다음 결과를 얻는다.

$$x\in (\frac{\pi }{6}+2k\pi ,\frac{5\pi }{6}+2k\pi ),$$

여기서 k ∈ ℤ이다. k = 0이면 그림의 호이고, k = 1이면 같은 호를 한 바퀴 옮긴 것, 즉 구간 $(\frac{13\pi }{6},\frac{17\pi }{6})$이다. 해는 서로 2π씩 떨어진 무수히 많은 구간이다.

확인해 보자. 구간 안에 있는 $x=\frac{\pi }{2}$를 넣어 보면 $\sin \frac{\pi }{2}=1$이고, 1은 정말 2분의 1보다 크다. 반대로 x = π는 구간 안에 없고 sin π = 0은 2분의 1보다 크지 않다. 결과가 맞다.

0을 지나는 구간

이번에는 코사인이다.

$$\cos x>\frac{1}{2}$$

코사인은 원 위의 점의 x좌표이므로, 가로축과 점 $\frac{1}{2}$에서 만나는 세로 직선보다 오른쪽에 있는 점을 찾는다. 방정식 $\cos x=\frac{1}{2}$도 첫 한 바퀴 안에서 해가 두 개, $\frac{\pi }{3}$와 $\frac{5\pi }{3}$이다($\frac{\pi }{3}$는 특수각의 값에 나오는 60°이고, $\frac{5\pi }{3}$는 x축 아래의 대칭인 점이다). 직선 오른쪽의 호는 아래쪽 점 $\frac{5\pi }{3}$에서 시작해 0을 지나 위쪽 점 $\frac{\pi }{3}$에서 끝난다.

여기서 다음과 같이 쓰고 싶은 유혹이 크다.

$$(\frac{5\pi }{3},\frac{\pi }{3}).$$

함정이다. 구간의 왼쪽 끝은 오른쪽 끝보다 작아야 하는데 $\frac{5\pi }{3}$는 $\frac{\pi }{3}$보다 크다. 이런 구간은 공집합이다. $\frac{5\pi }{3}$보다 크면서 $\frac{\pi }{3}$보다 작은 수는 없다.

고치는 방법은 간단하다. $\frac{5\pi }{3}$ 대신 한 바퀴 거꾸로 돌린 같은 점을 쓴다.

$$\frac{5\pi }{3}-2\pi =-\frac{\pi }{3}.$$

각 $-\frac{\pi }{3}$는 원 위에서 $\frac{5\pi }{3}$와 같은 곳을 가리킨다. 다만 시계 방향으로 돌아서 도달한다는 점만 다르다. 이제 왼쪽 끝이 오른쪽 끝보다 작으므로 결과는 다음과 같다.

$$x\in (-\frac{\pi }{3}+2k\pi ,\frac{\pi }{3}+2k\pi ),$$

여기서 k ∈ ℤ이다. 코사인 함수의 그래프에서도 잘 보인다.

0 근처의 빨간 부분이 k = 0인 구간이다. $\frac{5\pi }{3}$에서 시작하는 오른쪽 부분은 k = 1일 때의 복사본, 즉 $(\frac{5\pi }{3},\frac{7\pi }{3})$이다. 이것도 k만 다를 뿐 올바른 표기이다. 틀린 것은 양 끝이 뒤바뀐 표기뿐이다.

탄젠트

마지막 예제이다.

$$\tan x\ge 1$$

탄젠트는 $x=\frac{\pi }{4}$일 때 1이다. 탄젠트의 그래프는 각 가지에서 계속 증가하므로 x가 조금 커지면 탄젠트는 1보다 커진다. 하지만 $\frac{\pi }{2}$까지만 증가하고 거기서 무한대로 달아나며, 그 뒤로는 다시 음의 무한대에서 시작한다. 따라서 그래프의 한 가지에서는 $\frac{\pi }{4}$부터 $\frac{\pi }{2}$까지 모두 부등식을 만족한다.

여기서는 흔히 두 가지 실수를 한다. 첫 번째는 주기이다. 탄젠트는 사인처럼 2π가 아니라 π마다 되풀이된다. 습관적으로 2kπ를 더하면 해의 절반을 잃는다. 예를 들어 탄젠트가 역시 1인 $x=\frac{5\pi }{4}$를 놓친다.

두 번째 실수는 오른쪽 끝에 숨어 있다. 왼쪽 끝 $\frac{\pi }{4}$는 해에 속한다. 부등식에 등호가 있고 $\tan \frac{\pi }{4}=1$이 부등식을 만족하기 때문이다. 하지만 오른쪽 끝 $\frac{\pi }{2}$는 등호가 있는 부등식에서도 절대 해에 속하지 않는다. 그곳에서는 탄젠트가 정의되지 않으므로 1보다 크거나 같을 수 없다. 문제에 ≥가 있다는 이유만으로 닫힌구간 $[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}]$라고 쓰면 틀린다.

따라서 올바른 결과는 다음과 같다.

$$x\in [\frac{\pi }{4}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi ),$$

여기서 k ∈ ℤ이다. 확인을 위해 k = 0인 구간에 있는 $x=\frac{\pi }{3}$를 넣는다. $\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}\fallingdotseq 1.73$이고, 이것은 1보다 크다.