직육면체의 겉넓이

직육면체는 정육면체와 비슷한 입체도형으로, 면이 직사각형이나 정사각형으로 이루어져 있다. 직육면체가 어떻게 생겼는지 살펴보자.

직육면체의 겉넓이를 구하려면 여섯 면의 넓이를 모두 구해 더해야 한다. 이때 마주 보는 두 면의 넓이는 항상 같다. 그림처럼 모서리의 길이가 a, b, c인 직육면체의 겉넓이는 다음과 같다.

$S = 2 a b + 2 a c + 2 b c$

이 식은 다음과 같이 간단히 할 수 있다.

$S = 2 (a b + a c + b c)$

계산기: 직육면체의 겉넓이 구하기

모든 면의 넓이를 더해야 한다. 먼저 마주 보는 다음 두 면을 살펴보자.

이 면들은 직사각형 ABGH와 CDEF이다. 따라서 직사각형의 넓이 공식대로 직사각형의 두 변의 길이를 곱한다. 직사각형 ABGH의 넓이는 다음과 같다.

$S_{A B G H} = | A B | \cdot | B G |$

다른 직사각형 CDEF의 넓이는 다음과 같다.

$S_{C D E F} = | C D | \cdot | D F |$

그런데 변 AB의 길이는 변 CD의 길이와 같고, 변 BG의 길이는 변 DF의 길이와 같다. 따라서 두 직사각형의 넓이는 같다. 즉 색칠한 두 면의 넓이의 합은 다음과 같다.

$S_{1} = 2 \cdot | A B | \cdot | B G |$

다음으로 양옆의 두 면의 넓이를 구한다.

두 면의 넓이는 같다. 따라서 직사각형 BGFD의 넓이를 다음과 같이 구한다.

$S_{B G F D} = | B G | \cdot | G F |$

두 면의 넓이의 합은 다음과 같다.

$S_{2} = 2 \cdot | B G | \cdot | G F |$

남은 것은 앞면과 뒷면의 넓이이다.

직사각형 ABCD의 넓이는 다음과 같고

$S_{A B C D} = | A B | \cdot | B D |$

색칠한 부분 전체의 넓이는 다음과 같다.

$S_{3} = 2 \cdot | A B | \cdot | B D |$

직육면체 전체의 겉넓이는 이 넓이들을 모두 더하여 구한다.

$S = S_{1} + S_{2} + S_{3}$

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