마름모의 넓이

마름모는 정사각형과 비슷한 도형으로, 네 변의 길이가 모두 같은 사각형이다. 하지만 정사각형과 달리 이웃한 두 변이 이루는 각이 직각이 아니다. 마름모가 어떻게 생겼는지 살펴보자.

약간 찌그러진 정사각형처럼 보인다.

마름모의 넓이 공식

두 대각선의 길이가 p와 q인 마름모의 넓이는 다음과 같다.

$$S=\frac{p\cdot q}{2}$$

계산기: 마름모의 넓이 구하기

공식의 유도

두 대각선 p와 q(점선으로 그린 선분)가 마름모를 네 개의 삼각형으로 나눈다는 것을 알 수 있다.

이 삼각형들은 합동이고 놓인 방향만 다르다. 따라서 위쪽의 두 삼각형을 돌려서 아래로 옮길 수 있다. 그러면 직사각형이 된다.

이 직사각형은 같은 네 삼각형을 조금 다시 배열한 것이므로 넓이가 마름모와 같다. 따라서 이 직사각형의 넓이만 구하면 마름모의 넓이를 얻는다. 직사각형의 넓이는 짧은 변과 긴 변의 길이의 곱이다. 여기서 직사각형의 넓이는 다음과 같다.

$$S_{◻}=|AC|\cdot |A{B}_1|$$

그런데 변 AC의 길이는 원래 그림의 가로 대각선 p의 길이와 같다. 선분 AB₁의 길이는 선분 OD의 길이와 같고, 선분 OD의 길이는 세로 대각선 q의 길이의 절반이다. 마름모의 두 대각선은 서로를 이등분하기 때문이다. 이를 식에 대입하면 다음과 같다.

$$S_{◻}=p\cdot \frac{q}{2}=\frac{p\cdot q}{2}$$

따라서 두 대각선의 길이가 p = 7, q = 4인 마름모의 넓이는 다음과 같다.

$$S=\frac{7\cdot 4}{2}=\frac{28}{2}=14$$

마름모는 평행사변형이기도 하므로 평행사변형의 넓이 공식으로도 넓이를 구할 수 있다. 다만 이때는 한 변의 길이와 높이를 알아야 한다.