원뿔의 겉넓이

원뿔의 겉넓이는 쉽게 말해 원뿔 전체를 만들거나 겉을 감싸는 데 종이나 금속판이 얼마나 필요한지를 나타낸다. 원뿔의 부피와 혼동하지 말자. 부피는 원뿔에 물이 얼마나 들어가는지를 나타낸다. 원뿔은 두 부분으로 이루어진다. 아래에는 원 모양의 밑면이 있고, 그 위에 꼭짓점으로 모이는 옆면이 있다.

그림에서 밑면의 반지름 r은 빨간색, 높이 h는 파란색, 원뿔의 모선 l은 초록색이다. 모선의 길이는 꼭짓점에서 밑면의 둘레까지의 거리이다.

원뿔의 겉넓이 공식

공식만 필요하다면, 밑면의 반지름이 r이고 모선의 길이가 l인 원뿔의 겉넓이 S는 다음과 같다.

$$S=\pi \cdot r^2+\pi \cdot r\cdot l$$

첫째 항은 밑넓이, 둘째 항은 옆넓이이다. 공식을 공통인수 π · r로 묶어 쓰기도 한다.

$$S=\pi \cdot r\cdot (r+l)$$

밑면의 반지름이 r = 3이고 모선의 길이가 l = 5인 원뿔을 생각해 보자. 이 원뿔의 겉넓이는 다음과 같다.

$$S=\pi \cdot 3^2+\pi \cdot 3\cdot 5=9\pi +15\pi =24\pi$$

결과를 원주율 없이 보통의 수로 나타내려면 근삿값 3.14를 대입한다.

$$S\fallingdotseq 24\cdot 3.14=75.36$$

공식의 유도

밑면은 보통의 원이므로 넓이는 원의 넓이 공식 π · r²으로 구한다.

옆면은 더 흥미롭다. 옆면을 모선을 따라 잘라 탁자 위에 펼치면 반지름이 l인 부채꼴이 된다. 그림은 원뿔의 전개도 전체를 보여 준다. 빨간 부채꼴이 옆면, 파란 원이 밑면이다. 그림 속 전개도는 원뿔로 접혔다가 다시 펼쳐진다.

부채꼴의 주황색 호는 자르기 전에는 밑면의 둘레였으므로, 아래의 주황색 원의 둘레, 즉 원의 둘레 2π r과 길이가 같다. 반지름이 l인 원 전체의 둘레는 2π l이다. 부채꼴이 반지름이 l인 원 전체에서 차지하는 비율은 호가 원 전체의 둘레에서 차지하는 비율과 같다.

$$\frac{2\pi r}{2\pi l}=\frac{r}{l}$$

앞에서 예로 든 원뿔에서는 부채꼴이 원의 5분의 3이고, 그림도 마찬가지이다. 원 전체의 넓이는 π · l²이고, 옆면은 그중 $\frac{r}{l}$만큼을 차지한다.

$$S_{\text{옆면}}=\frac{r}{l}\cdot \pi \cdot l^2=\pi \cdot r\cdot l$$

옆넓이에 밑넓이를 더하면 전체 공식 S = π · r² + π · r · l을 얻는다.

예제: 종이 고깔모자

파티를 앞두고 원뿔 모양의 종이 고깔모자를 만들려고 한다. 밑면의 반지름은 8 cm, 높이는 15 cm로 하려고 한다. 종이가 얼마나 필요할까?

그런데 공식에는 높이가 아니라 모선의 길이 l이 필요하다. 높이, 반지름, 모선은 직각삼각형을 이루므로 피타고라스 정리로 모선의 길이를 구할 수 있다. r = 8, h = 15를 대입한다.

$$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{8^2+{15}^2}$$

제곱하면 다음과 같다.

$$l=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}$$

제곱근을 구하면 다음과 같다.

$$l=17$$

여기에 함정이 있다. 고깔모자에는 바닥이 없다. 전체 공식을 쓰면 밑면이 달린 모자를 만들게 되는데, 그런 모자는 쓰기가 꽤 불편하다. 따라서 옆넓이만 구한다.

$$S_{\text{옆면}}=\pi \cdot r\cdot l=\pi \cdot 8\cdot 17=136\pi$$

원주율의 근삿값을 대입한다.

$$S_{\text{옆면}}\fallingdotseq 136\cdot 3.14=427.04$$

고깔모자를 만드는 데 종이가 약 427 cm² 필요하고, 붙이는 데 쓸 여유분도 조금 더 있어야 한다.

계산기

밑면의 반지름과 모선의 길이를 입력한다. 각 칸의 단위는 바꿀 수 있다. 계산기는 정확한 원주율을 쓰므로 결과가 75.36보다 조금 크게 나온다.

함께 보기

• 원뿔의 부피
• 부채꼴
• 원기둥의 겉넓이
• 각뿔의 겉넓이