0.999…가 1과 같은 이유

소수점 아래에 9가 끝없이 이어지는 수 0.999…는 1과 같다. 대략도 아니고 “거의”도 아니며 정확히 같다. 대부분의 사람은 처음에 이것을 믿지 않고, 이 수 하나를 두고 벌어지는 논쟁은 인터넷에서 가장 흔한 수학 논쟁 가운데 하나이다. 몇 가지 증명을 살펴보고, 마지막으로 왜 직관이 계속 반대로 속삭이는지 알아보자.

다른 순환소수처럼 이 수도 되풀이되는 숫자 위에 선을 그어 쓸 수 있다(한국 교과서에서는 순환마디의 양 끝 숫자 위에 점을 찍는다).

$$0,\bar{9}=1$$

3분의 1을 이용한 증명

누구에게도 어렵지 않은 분수에서 시작하자. 1을 3으로 나누면 순환소수가 나온다.

$$\frac{1}{3}=0.333\dots$$

이제 등식의 양변에 3을 곱한다. 좌변은 다음과 같다.

$$3\cdot \frac{1}{3}=\frac{3}{3}=1.$$

우변에서는 각 3에 따로 3을 곱한다. 3 · 3 = 9이고 받아올림이 없으므로 다음이 나온다.

$$3\cdot 0.333\dots =0.999\dots$$

좌변이 같으므로 우변도 같아야 한다. 1 = 0.999…이다. 0.333…을 3분의 1로 받아들이는 사람은 이것도 거부할 수 없다.

10배를 이용한 증명

이 방법은 유리수 글에서 이미 보았다. 그 글에서는 같은 방법으로 순환소수를 분수로 바꾼다. 이 수를 a라고 하자.

$$a=0,\bar{9}$$

10을 곱한다. 소수점이 한 자리 오른쪽으로 옮겨 가고, 그 뒤에는 여전히 9가 끝없이 이어진다.

$$10a=9,\bar{9}$$

여기서 a를 빼면 소수점 아래의 9가 모두 지워진다.

$$9a=9$$

9로 나누기만 하면 된다.

$$a=1$$

차는 얼마일까?

0.999…와 1이 다르다면 두 수의 차는 어떤 양수일 것이다. 찾아보자. 먼저 9가 유한 개일 때를 보자.

$$\begin{array}{rcl}1-0.9& =& 0.1\\ 1-0.99& =& 0.01\\ 1-0.999& =& 0.001\end{array}$$

9가 하나 늘 때마다 차는 10분의 1로 줄어든다. 그림 맨 위는 0부터 1까지의 수직선으로, 0.9에 파란 점이 있고 1까지 모자란 부분이 빨간색이다. 아래의 수직선은 차례로 이 부분을 10배씩 확대한 것이어서 파란 점은 차례로 0.9, 0.99, 0.999에 있다.

아무리 작은 양수를 골라도, 예를 들어 10억분의 1을 골라도, 9가 충분히 많으면 차는 그보다 작아진다. 그런데 0.999…에는 9가 처음부터 끝없이 모두 있으므로, 차는 어떤 양수보다도 작아야 한다. 하지만 모든 양수보다 작은 양수는 없다. 그런 수는 자기 자신의 절반보다도 작아야 하기 때문이다. 따라서 차는 0일 수밖에 없다.

흔한 반론은 차가 0.000…01, 즉 0이 끝없이 이어지고 마지막에 1이 있다는 것이다. 하지만 끝없이 이어지는 0에는 끝이 없으므로 1을 쓸 곳이 없다.

둘 사이에 들어갈 수가 없다

서로 다른 두 실수 사이에는 언제나 다른 수, 예를 들어 두 수의 평균이 있다. 0.5와 0.6 사이에는 0.55가 있고, 0.5와 0.55 사이에는 0.525가 있다. 두 수가 아무리 가까워도 서로 다르기만 하면 성립한다. 두 수의 평균은 언제나 그 사이에 들어간다.

0.999…와 1 사이에는 어떤 수가 있을까? 그 수는 0.999…보다 크고 동시에 1보다 작아야 하므로 0과 소수점으로 시작해야 한다. 그러면 소수점 아래의 숫자 가운데 적어도 하나는 9보다 커야 하는데, 그런 숫자는 없다. 두 수 사이에는 아무것도 들어갈 수 없으므로 두 수는 같다.

무한급수로 보기

소수 표기는 사실 합이다. 0.999…는 10분의 9 더하기 100분의 9 더하기 1000분의 9 등을 뜻한다.

$$0.999\dots =\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\dots$$

각 항은 앞 항의 10분의 1이므로, 첫째항이 $a_1=\frac{9}{10}$이고 공비가 $r=\frac{1}{10}$인 등비수열의 항을 더하는 것이다. 공비의 절댓값이 1보다 작으므로 무한급수의 합은 유한한 값을 갖고, 다음 공식으로 구한다.

$$S=\frac{a_1}{1-r}.$$

대입한다.

$$S=\frac{\frac{9}{10}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{\frac{9}{10}}{\frac{9}{10}}=1$$

정확히 말하면 무한급수의 합은 부분합, 즉 수열 0.9; 0.99; 0.999; …의 극한이다. 이 수열은 1에 가까워지고, 0.999…라는 표기는 바로 이 극한을 뜻한다. 앞의 증명들도 이 사실을 바탕으로 한다.

왜 믿기 어려울까

직관은 “9가 많다”와 “9가 끝없이 많다”를 혼동한다. 9가 세 개인 0.999는 정말 1보다 작고, 9가 백만 개인 수도 마찬가지이다. 그 수를 인쇄하면 몇백 쪽이 되겠지만, 그래도 1에는 여전히 조금 모자란다. 하지만 $0,\bar{9}$는 어딘가에서 끝나는 많은 9가 아니다. 결코 끝나지 않으므로 모자란 것이 없다.

또 0.999…를 9가 계속 덧붙여지면서 수가 1에 슬금슬금 다가가는 과정으로 떠올리기도 한다. 하지만 수는 어디로도 움직이지 않는다. 9는 처음부터 모두 들어 있고 값은 변하지 않는다.

또 하나의 걸림돌은 한 수가 서로 다른 두 표기를 가진다는 점이다. 하지만 이것은 분수에서도 익숙하다.

$$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{50}{100}=0.5$$

2분의 1을 여러 가지 분수로 쓰는 것처럼 0.5에도 소수 표기가 하나 더 있다.

$$0.5=0.4999\dots$$

0이 아닌 유한소수는 모두 표기가 두 개이다. 예를 들어 0.25 = 0.24999…이고 7 = 6.999…이다. 두 수가 아니라 옷만 다르게 입은 한 수이다.

함께 보기

• 유리수
• 실수
• 수열
• 0으로 나눌 수 없는 이유