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대수적 수

정수 계수를 갖는 어떤 다항식의 근인 수를 대수적 수라고 한다. 실제로는 무슨 뜻일까? 아무 수나 골라 다음과 같은 수학 놀이를 해 볼 수 있다. 놀이의 목표는 어떤 수 x를 0으로 만드는 것인데, 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 거듭제곱만 쓸 수 있고, 계산에는 정수만 쓸 수 있다. 예를 보면 분명해진다.

먼저 42를 골라 보자. 0을 얻으려면 어떻게 바꾸면 될까? 정수 42를 빼면 0이 된다(0을 곱하는 것은 허용되지 않는다).

42−42=0

42를 0으로 만들었으므로 42는 대수적 수이다. 너무 쉬웠다. 분수, 예를 들어 73은 어떨까? 정수만 쓸 수 있으므로 이 분수에서 73을 빼서 0을 얻을 수는 없다. 다른 방법을 찾아야 한다. 먼저 분수에 3을 곱한다.

3⋅73=3⋅73=7

정수가 되었으니 이제 0으로 만들 수 있다. 7을 빼면 된다. 그래서 다음과 같이 쓸 수 있다.

3⋅73−7=0

따라서 3분의 7도 대수적 수라고 할 수 있다. 더 복잡한 수인 루트 2, 즉 2를 보자. 어떤 곱셈이나 덧셈도 도움이 되지 않으므로 먼저 근호를 없애야 한다. 이 식을 제곱한다.

(2)2=2

0으로 만들 수 있는 정수가 되었으므로 2를 뺀다.

(2)2−2=0

무리수인 루트 2도 대수적 수이다. 지금까지는 어떤 수를 골라도 대수적 수인 것처럼 보인다. 그러면 자연로그의 밑 e는 어떨까? 이것도 무리수이므로 루트 2처럼 순환하지 않는 무한소수이다. 근삿값은 2.71이다. 하지만 루트 2와 달리, 허용한 연산만으로는 e를 0으로 만들 방법이 없다. e에 무엇을 더하든 곱하든 거듭제곱하든 언제나 또 다른 무리수가 나온다. 그래서 e는 대수적 수가 아니다. 드디어 찾았다!

마찬가지로 원주율 π(3.14)도 대수적 수가 아니다.

이렇게 대수적 수가 아닌 수를 초월수라고 한다.

더 정확한 정의

즉 모든 대수적 수에는 그 수를 근으로 갖는 정수 계수 다항식이 있어야 한다. 다항식의 근은 다항식의 값을 0으로 만드는 수이다. 앞의 예로 돌아가면, 42에 대해서는 다음 방정식을 얻는다.

x−42=0

다항식 x − 42의 근이 x = 42이므로 42는 대수적 수이다. 유리수 73에 대해서는 다음 방정식이 된다.

3x−7=0

다항식 3x − 7의 근이 x=73이기 때문이다. 마지막으로 루트 2에 대해서는 다음을 얻는다.

x2−2=0

다항식 x2 − 2의 근이 루트 2이기 때문이다. e나 π에 대해서는 이런 방정식이나 다항식을 만들 수 없다. 이 수들은 대수적 수가 아니라 초월수이기 때문이다.

대수적 수의 예

  • 모든 정수는 대수적 수이다.
  • 모든 유리수(분수)는 대수적 수이다.
  • 무리수는 조금 더 복잡하다. 보았듯이 루트 2처럼 대수적 수인 무리수도 있고, e처럼 그렇지 않은 무리수도 있다.
  • 정수의 n제곱근은 모두 대수적 수이다.
  • 황금비는 대수적 수이다.

참고 자료