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정수

정수는 소수 부분이 없는 수로, 자연수와 그 부호를 바꾼 수(음수), 그리고 0으로 이루어진다.

성질

날아다니는 숫자들

정수는 …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …을 원소로 하는 집합을 이룬다. 이 집합은 보통 가운데 선을 겹쳐 그은 문자 Z, 즉 ℤ로 나타낸다. 독일어 “Zahlen”(수)에서 왔다. 정수 전체의 집합은 무한집합이며 셀 수 있는 집합이다.

정수에는 예를 들어 다음과 같은 성질이 있다.

  1. 자연수와 마찬가지로 덧셈과 곱셈에 대하여 닫혀 있다. 즉 두 정수를 더하면 다시 정수가 된다.
  2. 자연수와 달리 정수는 뺄셈에 대하여도 닫혀 있다. 자연수는 그렇지 않았다. 두 자연수의 차가 음수가 될 수 있었기 때문이다. 정수에는 음수가 들어 있으므로 문제가 되지 않는다.
  3. 자연수와 마찬가지로 나눗셈에 대하여는 닫혀 있지 않다. 나누면 여전히 정수가 아닌 수가 나올 수 있다.
  4. 모든 정수 c에는 부호를 바꾼 수(덧셈에 대한 역원) −c가 있다. 수 10이면 그 역원은 −10이다. 55이면 −55이다. 음수도 마찬가지로 −13의 역원은 13이다. 정수 c와 그 역원 −c를 더하면 0이 된다. c + (−c) = 0이다. 그래서 0의 역원은 다시 0이다.

짝수와 홀수

정수는 짝수와 홀수로 나눌 수 있다. 짝수는 2로 나누어떨어지는 수, 즉 2, −4, −8, 40, 124 등이다. 홀수는 2로 나누면 나머지가 1인 수, 즉 −1, 1, 5, 19, −41 등이다. 음수에서도 짝수와 홀수를 구별한다는 점(즉 −5는 정말 홀수이다), 그리고 0은 짝수라는 점에 주목하자.

덧셈에 대한 성질: 짝수 두 개를 더하면 다시 짝수가 된다. 나머지 성질은 다음 표와 같다.

짝수+짝수=짝수짝수+홀수=홀수홀수+홀수=짝수

곱셈에 대한 비슷한 표는 다음과 같다.

짝수⋅짝수=짝수짝수⋅홀수=짝수홀수⋅홀수=홀수

나머지가 있는 나눗셈

정수에서도 자연수처럼 나머지가 있는 나눗셈을 정의할 수 있는데, 음수를 어떻게 다룰지 정해야 한다. 이번에는 기본 정의가 다음과 같다.

a=q⋅b+r,a,q∈Z,b∈Z−{0},0≤r<|b|

이 식에서는 a÷b를 계산하며, 수 q는 몫, 수 r은 나머지이다. 0으로는 나눌 수 없으므로 수 b는 0이 아니어야 한다. 나머지는 0 이상이고 b의 절댓값보다 작아야 하는데, 이 조건 덕분에 몫과 나머지가 하나로 정해진다.

이런 나눗셈은 어떻게 할까? −21÷4를 계산해 보자. 그러면 다음과 같다.

−21=−6⋅4+3

몫은 −6이고 나머지는 3이다. 모든 수가 양수일 때와 몫이 다르다는 점이 의외일 수 있다.

21=5⋅4+1

여기서는 몫이 5이고 나머지가 1이다. 차이는 음수 때문에 생긴다. 양수에서는 먼저 21보다 크지 않으면서 4로 나누어떨어지는 가장 큰 정수를 찾는데, 이 수는 20이다. 그래서 20÷4=5를 계산해 5를 얻는다. 나머지는 차 21 − 20으로 구한다.

음수에서도 똑같이 한다. −21보다 크지 않으면서 4로 나누어떨어지는 가장 큰 수를 찾는다. 그런데 −20은 −21보다 크다. 그래서 −21보다 크지 않으면서 4로 나누어떨어지는 가장 큰 수는 −24이다. 나머지는 이번에도 차 −21 − (−24) = −21 + 24 = 3으로 구한다.

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