무한대

무한은 추상적인 개념이라서 사실상 상상조차 할 수 없다. 무한에는 끝이 없다. 이름도 거기서 왔다. 그런데 일반적인 무한에는 시작도 없다(시작을 정해 줄 수는 있다. 예를 들어 반직선도 무한하지만 시작점이 있다). 무한대는 보통 “옆으로 누운 8”, 즉 ∞로 쓴다.

무한대로 계산하기

무한대는 어떤 면에서 0과 닮았다. 0도 여러 가지로 특별해서 0에만 적용되는 규칙이 있다. 예를 들어 0으로는 나눌 수 없다. 아마 어린아이도 알 것이다(그런데 이런 농담 아는가? 수학 숙제를 안 했을 때 가장 좋은 핑계는? “선생님, 실수로 0으로 나누기 시작했더니 공책이 타 버렸어요…” ;o)).

무엇이든 0을 곱하면 0이 되는 것처럼, 무엇이든 무한대를 곱하거나 무한대에 더하면 무한대가 된다. 무한대에서 아무리 큰 수를 빼도 언제나 무한대가 남는다. 무한대를 나누려고 해도 마찬가지이다. 무한대는 워낙 커서 매초 수백만씩 빼도 언제나 무한대가 남는다. 이 점이 때로는 조금 이해하기 어렵다. 예를 들어 ∞ + 1 = ∞라는 등식을 보자. 이 등식은 성립할까, 성립하지 않을까?

상식적으로는 왼쪽이 더 큰 것 같다. 무한대에 1을 더하면 그 식 전체가 그냥 무한대보다 커야 할 것만 같다. 그렇지 않다 :-). 앞에서 말했듯이 무한대에 무엇을 더해도 무한대이다. 따라서 무한대 더하기 1은 무한대이고, 무한대는 무한대와 같다. 이 등식은 성립한다.

극한을 이용하는 다른 방법도 있다. 분수 1/x를 생각하고 x→0⁺일 때의 우극한을 구해 보자. 공책이 타지 않았다고 가정하자. 이 극한은 무한대이다. 이 식에 1을 더하면 (1+x)/x가 되고, x→0⁺일 때의 극한은 역시 무한대이다.

재미있는 것은 무한대끼리 섞기 시작할 때이다. 예를 들어 무한대 빼기 무한대는 얼마일까? 상식으로는 같은 크기의 두 수를 빼는 것이니 결과는 0일 것 같다. 그런데 앞에서 무한대에서 어떤 수를 빼도 결과는 무한대라고 했다. 거꾸로 어떤 수에서 무한대를 빼면 마이너스 무한대가 된다. 그러면 어떻게 해야 할까? 이론상으로는 어느 결과든 가능하다. 수학에서는 ∞ −∞가 어떤 특정한 값과도 같지 않다고 본다. 이런 식을 정의되지 않은 식, 곧 부정형이라고 한다. 0으로 나누려는 것과 비슷해서 그냥 의미가 없다. 이런 부정형을 만나면 식을 어떤 방법으로든 변형해야 한다(몇몇 종류의 부정형에는 예를 들어 로피탈의 정리를 쓸 수 있다).

그 밖의 부정형은 다음과 같다.

• ∞ − ∞
• ∞/∞
• 0/0
• 0 · ∞
• 0⁰
• ∞⁰
• 1^∞

한편 부호에 관한 기본 규칙은 그대로 성립한다. 예를 들어 −1 · ∞는 마이너스 무한대이다.

머리가 이상해지고 싶다면?

집합론에 뛰어들어 어느 집합이 더 큰지 따져 보자. 예를 들어 짝수의 집합과 홀수의 집합 중 어느 쪽이 더 클까? 짝수와 자연수는? 자연수와 정수는? 짝수와 정수는? 자연수와 유리수는? 답은 모두 크기가 같다는 것이다. 이상해 보일 수 있지만(정수가 홀수보다 당연히 많아야 할 것 같은데) 이 집합들은 모두 크기가 같다. 그 대신 실수의 집합은 앞에서 말한 집합들보다 크다. 귀신이 곡할 노릇이다 ;-)