자연로그의 밑 e는 어디서 왔을까

자연로그의 밑 e(오일러의 수)는 원주율 π와 함께 가장 잘 알려진 수학 상수 가운데 하나이다. 이 수가 어떻게 발견되었고 무엇을 뜻하는지 알아보자.

17세기에 스위스의 수학자 야코프 베르누이는 복리에 관심을 가졌다. 1원을 연이율 100%를 주는 은행에 맡긴다고 하자. 은행으로서는 정신 나간 짓이지만, 수학을 위해서라면 무엇인들 못 하겠는가. 정확히 1년 뒤 계좌에는 얼마가 있을까? 2원이 있을 것이다.

은행이 반년마다 50%의 이자를 붙여 준다면 어떻게 될까? 더 유리할까, 덜 유리할까?

처음 반년이 지나면 돈이 절반만큼 늘어난다. “절반만큼 더”는 수학으로 $x\cdot (1+\frac{1}{2})$로 쓴다. x에 맡긴 돈, 즉 1원을 넣어 계산하면 다음과 같다.

$$1\cdot (1+\frac{1}{2})=1.5$$

반년 뒤 계좌에는 1.5원이 있다. 다음 반년이 지나면 다시 절반만큼 늘어난다. 같은 공식을 쓰되 x에 새 잔액 1.5를 넣는다.

$$1.5\cdot (1+\frac{1}{2})=2.25$$

1년 뒤 계좌에는 2.25원이 있다. 따라서 더 낮은 이율로 더 자주 이자를 붙이는 것이 유리하다.

매달 이자 붙이기

은행이 매달 이자를 붙이되 이율을 원래의 12분의 1로 낮춘다면 어떻게 될까? 휴, 계산이 조금 많아진다. 첫 달이 지나면 잔액은 얼마일까? “12분의 1만큼 더” 있으므로 $x\cdot (1+\frac{1}{12})$로 쓴다. 첫 달이 지나면 다음과 같다.

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})=1.0833333\dots$$

두 번째 달이 지나면 다음과 같다.

$$1.0833333\cdot (1+\frac{1}{12})=1.17361111\dots$$

그런데 1.0833333 대신 $1\cdot (1+\frac{1}{12})$이라고 써도 된다. 두 수가 같기 때문이다.

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})=1.17361111\dots$$

세 번째 달이 지나면 계좌에는 다음 금액이 있다.

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})=1.27141203$$

보다시피 계산에는 일정한 규칙이 있다. 괄호 안의 식이 지금 계산하는 달 수만큼 되풀이된다. 같은 괄호 세 개 대신 괄호 하나를 쓰고 세제곱하면 앞의 식을 간단히 할 수 있다.

$$1\cdot {(1+\frac{1}{12})}^3=1.27141203$$

앞에 1을 곱하는 것도 필요 없으므로 지운다.

$${(1+\frac{1}{12})}^3=1.27141203$$

12개월 뒤의 잔액을 구하려면 지수에 3 대신 12를 쓰기만 하면 된다.

$${(1+\frac{1}{12})}^{12}=2.6130352$$

12개월 뒤 계좌에는 약 2.6130352원이 있다. 나쁘지 않다! 연이율 100%일 때보다 훨씬 낫다.

연속 복리

한 달 단위에서 멈출 필요는 없다. 원래 이율의 $\frac{1}{52}$을 매주 붙이면 얼마가 될까? 공식을 이미 알고 있으므로 대입하기만 하면 된다.

$${(1+\frac{1}{52})}^{52}=2.6925969$$

매일 붙이면?

$${(1+\frac{1}{365})}^{365}=2.7145674$$

매시간 붙이면? (1년은 8,760시간이다.)

$${(1+\frac{1}{8760})}^{8760}=2.718126$$

더 낮은 이율로 더 자주 이자를 붙일수록 마지막에 계좌에 돈이 조금 더 많아진다는 것을 알 수 있다. 하지만 늘어나는 양은 점점 작아진다. 이렇게 끝없이 계속할 수 있다. 사실 나쁜 생각이 아니다. 매분, 매초, 매 밀리초, 매 나노초마다 이자를 붙이다 보면 결국 쉬지 않고 이자를 붙이는 상태가 된다. 아주 작은 이자를 매 순간 연속으로 붙이는 것이다. 이 경우 1년 뒤 계좌에는 얼마가 있을까?

다시 자연로그의 밑으로

이것이 야코프 베르누이가 계산하려던 문제이다. 안타깝게도 그는 풀지 못했고, 18세기에 이르러 유명한 수학자 레온하르트 오일러가 풀었다. 오일러는 1년 뒤 계좌에

$$2.71828182845904523536028747135\dots$$

원이 있다는 것을 계산했다. 매시간 이자를 붙였을 때보다 그리 많지 않다는 것을 알 수 있다. 그리고 이 잔액, 이 수가 수학의 여러 분야에서 아주 중요하다는 것이 밝혀져 오늘날까지 오일러의 수라고 부르며 문자 e로 나타낸다. 한국 교과서에서는 보통 자연로그의 밑이라고 한다. e는 무리수, 즉 순환하지 않는 무한소수이다. 원주율 π와 마찬가지이다. 그래서 전체를 다 볼 수는 없다. 그래도 e는 함수의 극한을 이용해 정확히 정의할 수 있다.

$$e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n$$

참고 자료

• 영어 채널 Numberphile의 오일러의 수 편이 아주 좋다.
• 주택담보대출 이자 계산하기