복소수

복소수는 실수를 넓힌 것이다. 실수 범위에서는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈(0으로 나누는 것은 빼고) 같은 보통의 연산을 대부분 할 수 있다. 실수 범위에서는 제곱근도 구할 수 있지만 0 이상인 수에서만 가능하다. 이것이 빈틈인데, 예를 들어 이차방정식을 풀다가 판별식이 음수가 나올 때 드러난다. 이 빈틈을 메우는 것이 복소수이다.

복소수란

복소수가 보통의 수와 가장 다른 점은 실수부분과 허수부분이라는 두 부분으로 이루어진다는 것이다. 복소수는 순서쌍 (x, y)로 생각할 수 있는데, 수 x가 실수부분, 수 y가 허수부분이다. 실수부분이 0이면 순허수라고 한다. x와 y 자체는 실수이다.

복소수 전체의 집합은 대문자 C를 써서 ℂ로 나타낸다.

복소수가 서로 같을 조건: 보통의 수와 달리 복소수는 두 성분으로 이루어진다. 그래서 두 복소수가 같으려면 두 성분이 모두 같아야 한다. 다음 복소수들은 서로 다르다. (2, 3) ≠ (0, 3) ≠ (2, 0)이다. 복소수 z₁ = (1, 2)와 z₂ = (1, 2)는 같다. z₁ = z₂이다.

a+bi 꼴과 허수단위

복소수는 보통 다음과 같은 꼴로 쓴다. 복소수 (x, y)는 x + yi로 쓰는데, 여기서 i를 허수단위라고 한다. 허수단위의 제곱에 대해서는 다음의 아주 중요한 관계가 성립한다.

$$i^2=-1$$

이 등식은 앞으로 다른 거듭제곱과 함께 자주 쓰인다. 더 높은 거듭제곱은 보통의 방법으로 계산할 수 있기 때문이다. 예를 들어 i³을 간단히 하려면 거듭제곱의 계산 법칙에 따라 i² · i로 바꿔 쓸 수 있다. i²은 −1과 같다는 것을 이미 안다. 남은 i는 더 간단히 할 수 없으므로 i³ = −i를 얻는다.

$$i^3=\underset{-1}{\underbrace{i^2}}\cdot \underset{i}{\underbrace{i}}=-i$$

i⁴도 비슷하다. i² · i²으로 바꿔 쓸 수 있고 i² = −1이므로 −1 · − 1 = 1을 얻는다.

$$i^4=\underset{-1}{\underbrace{i^2}}\cdot \underset{-1}{\underbrace{i^2}}=-1\cdot -1=1$$

즉 i⁴ = 1이다. 이 사실은 허수단위의 더 높은 거듭제곱을 계산할 때 이용할 수 있다. 예를 들어 i⁷을 계산할 때 i⁴ · i³으로 바꿔 쓸 수 있다. i⁴ = 1이므로 1 · i³을 얻는다. 그리고 i³ = −i이다. 따라서 1 · (−i) = −i이다.

덧셈과 곱셈

복소수는 더하고 곱할 수 있다. 두 복소수 z₁과 z₂를 더할 때는 실수부분끼리, 허수부분끼리 따로 더하기만 하면 된다.

$$z_1+z_2=(x_1+y_{1}i)+(x_2+y_{2}i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i$$

예: z₁ = 3 + 7i, z₂ = 5 + 8i라고 하자. 합은 z₁ + z₂ = (3 + 5) + (7 + 8)i = 8 + 15i이다.

두 복소수의 곱은 조금 더 복잡하지만 보통의 괄호 전개로 풀어 쓸 수 있다. 기본 공식은 다음과 같다.

$$z_1\cdot z_2=(x_1+y_{1}i)\cdot (x_2+y_{2}i)=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+(x_1{y}_2+x_2{y}_1)i$$

이 공식은 어떻게 얻었을까? 보통의 괄호를 곱하듯이 z₁ · z₂를 곱해 보자. 다음을 얻는다.

$$z_1\cdot z_2=x_1{x}_2+x_1{y}_{2}i+x_2{y}_{1}i+y_1{y}_2{i}^2$$

i² = −1이므로 마지막 항을 정리하면 다음과 같다.

$$z_1\cdot z_2=x_1{x}_2+x_1{y}_{2}i+x_2{y}_{1}i-y_1{y}_2$$

이제 허수단위가 없는 항과 있는 항끼리 모으기만 하면 된다.

$$z_1\cdot z_2=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+(x_1{y}_2+x_2{y}_1)i$$

예: 5 + 6i와 4 + 7i를 곱해 보자. 다음을 얻는다.

$$(5+6i)\cdot (4+7i)=20+35i+24i+42i^2=20+59i-42=-22+59i$$

부호를 바꾼 수, 역수, 켤레복소수

• 복소수 x + yi의 부호를 바꾼 수는 −x − yi이다. 실수와 마찬가지로 복소수에 −1을 곱해서 얻는다. 예: 2 + 7i의 부호를 바꾼 수는 −2 − 7i이다. −5 + 8i의 부호를 바꾼 수는 5 − 8i이다.

• 복소수 x + yi의 역수는 $\frac{1}{x+yi}$이다. 따라서 4 − 2i의 역수는 $\frac{1}{4-2i}$이다.

• 복소수 x + yi의 켤레복소수는 x − yi이다. 보통 $\bar{z}$처럼 위에 선을 그어 나타내고, 별표를 써서 z*로 나타내기도 한다. 이 수가 복소수 z의 켤레복소수이다. 2 + 9i의 켤레복소수는 2 − 9i이다.

뺄셈과 나눗셈

부호를 바꾼 수와 역수를 정의했으므로 뺄셈과 나눗셈도 정의할 수 있다. 두 복소수를 빼려면, 즉 z₁ − z₂를 계산하려면 수 z₁에 z₂의 부호를 바꾼 수를 더한다. 실제로는 다음과 같은 간단한 공식을 얻는다.

$$z_1-z_2=(x_1+y_{1}i)-(x_2+y_{2}i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i$$

마찬가지로 나눗셈 z₁ / z₂는 곱셈 z₁ · z₂′으로 바꾼다. 여기서 z₂′은 z₂의 역수이다.

절댓값

복소수 z의 절댓값은 다음 공식으로 구한다.

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z\cdot \bar{z}}$$

(두 번째 근호 안에 있는 두 번째 z는 z의 켤레복소수이다.) 이 공식의 뜻은 복소수를 복소평면에 나타낸 그림에서 잘 볼 수 있다.

절댓값이 1인 복소수를 단위 복소수라고 한다. 단위 복소수의 예: 1, i, $\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$

절댓값의 성질은 다음과 같다.

• 복소수의 절댓값은 실수이다.
• |z| ≥ 0
• |z| = |−z| = |z*|, 여기서 z*는 켤레복소수이다.