Phương trình bậc nhất có ẩn ở mẫu

Phương trình bậc nhất chứa phân thức có biến ở mẫu được giải tương tự như phương trình bậc nhất thông thường. Bước đầu tiên là đưa phương trình về dạng tổng quát, sau đó giải như bình thường.

Khi mẫu chỉ là x

Dạng đơn giản nhất của phương trình này là khi mẫu chỉ chứa biến x và không có gì khác. Ví dụ, xét phương trình:

$$\frac{10}{x}=5$$

Rõ ràng nghiệm của phương trình là x = 2. Nhưng giải chặt chẽ, tổng quát thì thế nào? Biến ở mẫu gây khó khăn, cần khử nó đi, vì rất khó biến đổi khi nó còn ở đó. Câu hỏi đặt ra là làm thế nào để khử x ở mẫu.

Hãy hình dung một phân số dạng

$$\frac{a}{b}$$

Phải nhân phân số với biểu thức nào để khử được phân số, tức là để biểu thức không còn ở dạng thương mà ở dạng tích? Phải nhân một phần ba (tức là 1/3) với số nào để được một số nguyên? Phải nhân nó với mẫu số (hoặc một bội của mẫu số). Nếu nhân phân số với mẫu số của nó, ta được phân số

$$\frac{a\cdot b}{b}$$

trong đó có thể rút gọn mẫu số ban đầu b, và chỉ còn lại a. Trở lại ví dụ với một phần ba: nhân một phần ba với 3 thì được gì? Được ba phần ba, tức là số 1. Nhân một phần sáu với 6 thì được gì? Sáu phần sáu, tức là 1. Nhân ba phần bảy với 7 thì được gì? Được 3 · 7 = 21 phần bảy, tức là 3.

Vậy chỉ cần nhân hai vế của phương trình với biến x, chính là mẫu số. Có được làm vậy không? Câu trả lời là được. Đúng là x có thể nhận giá trị 0, vì ta giả sử x thuộc tập số thực, nhưng điều kiện xác định của phương trình cho biết x ≠ 0, vì x nằm ở mẫu và không thể chia cho 0. Do đó đây là một phép biến đổi tương đương.

Vậy ta nhân hai vế của phương trình với ẩn x. Ta được gì?

$$\begin{array}{rcl}\frac{10}{x}& =& 5\\ x\cdot \frac{10}{x}& =& x\cdot 5\\ \frac{10x}{x}& =& 5x\end{array}$$

Bây giờ làm gì? Có thể rút gọn x trong phân thức. Từ phân thức 10x/x chỉ còn lại 10: 10 = 5x. Đến đây có thể giải như phương trình bậc nhất thông thường. Nghiệm là x = 2.

Điều này có hợp với trực giác không? Có. Hãy hình dung phương trình dạng:

$$\frac{x}{2}=10$$

Phương trình bậc nhất này cho biết điều gì? Một nửa của x bằng 10. Vậy hai nửa của x phải bằng 20. Mà hai nửa của x chính là toàn bộ x.

Mẫu là biểu thức phức tạp hơn

Mẫu có thể là một biểu thức phức tạp hơn chứ không chỉ là x. Giải phương trình:

$$\frac{5}{x+2}=10$$

Giải phương trình này thế nào? Làm sao khử được phân thức? Ở phần trước, ta đã nhân hai vế của phương trình với mẫu và nhờ đó khử được phân thức. Ở đây cũng làm hoàn toàn như vậy. Nếu nhân hai vế của phương trình với biểu thức x + 2 thì biểu thức x + 2 đi lên tử và có thể rút gọn. Ta nhân:

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& 10/\cdot (x+2)\\ (x+2)\cdot \frac{5}{x+2}& =& (x+2)\cdot 10\\ \frac{(x+2)\cdot 5}{x+2}& =& 10\cdot (x+2)/\text{rút gọn }(x+2)\\ 5& =& 10\cdot (x+2)\end{array}$$

Đã khử được phân thức, bây giờ chỉ còn nhân phá ngoặc và tính nốt.

$$\begin{array}{rcl}-10x-15& =& 0\\ x& =& -\frac{3}{2}\end{array}$$

Nhiều phân thức

Tình huống có thể phức tạp hơn nhiều nếu phương trình có nhiều phân thức và nhiều biểu thức ở mẫu. Ví dụ:

$$\frac{5}{x+2}=\frac{4}{x+3}$$

Giải phương trình này thế nào? Có hai phân thức với mẫu khác nhau, cả hai đều chứa biến x. Cách giải là nhân hai vế của phương trình với cả hai mẫu. Có thể nhân lần lượt hoặc nhân cùng lúc. Nếu nhân lần lượt, cách tính như sau. Trước hết nhân với (x + 2).

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& \frac{4}{x+3}/\cdot (x+2)\\ \frac{5(x+2)}{x+2}& =& \frac{4(x+2)}{x+3}\\ 5& =& \frac{4(x+2)}{x+3}\end{array}$$

Tiếp theo, nhân hai vế của phương trình với mẫu thứ hai, (x + 3):

$$\begin{array}{rcl}5& =& \frac{4(x+2)}{x+3}/\cdot (x+3)\\ 5(x+3)& =& \frac{4(x+2)(x+3)}{x+3}\\ 5(x+3)& =& 4(x+2)\end{array}$$

Bây giờ chỉ còn nhân phá ngoặc và tính nốt:

$$\begin{array}{rcl}5x+15& =& 4x+8\\ x& =& -7\end{array}$$

Cách thứ hai là nhân hai vế của phương trình với cả hai mẫu cùng lúc, tức là ngay từ đầu nhân hai vế với biểu thức (x + 2)(x + 3). Ta được:

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& \frac{4}{x+3}/\cdot (x+2)(x+3)\\ \frac{5(x+2)(x+3)}{x+2}& =& \frac{4(x+2)(x+3)}{x+3}\\ 5(x+3)& =& 4(x+2)\end{array}$$

Có thể làm như vậy vì nhân phương trình với biểu thức a rồi nhân tiếp với biểu thức b cũng giống như nhân phương trình với biểu thức a · b.