Phương trình bậc nhất chứa dấu giá trị tuyệt đối

Giá trị tuyệt đối là hàm số giữ nguyên số không âm, còn số âm thì đổi thành số dương. Giá trị tuyệt đối có thể xuất hiện khi giải phương trình bậc nhất.

Ôn tập

Nhắc lại cách tính và cách viết giá trị tuyệt đối. Giá trị tuyệt đối của một biểu thức được viết bằng hai vạch đứng như sau: |a|, đọc là “giá trị tuyệt đối của a”. Giá trị tuyệt đối của một số không âm bằng chính số đó. Ví dụ: |3| = 3, |64| = 64, |π| = π. Còn giá trị tuyệt đối của một số âm là một số dương: $|-7|=7,|-\pi |=\pi ,|-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}$. Giá trị tuyệt đối của 0 bằng 0.

Ví dụ đơn giản

Một ví dụ về phương trình bậc nhất đơn giản chứa dấu giá trị tuyệt đối là phương trình: |x| = 3. Câu hỏi là: khi nào giá trị tuyệt đối cho kết quả bằng 3? Có hai giá trị x, một dương và một âm; vậy phương trình có hai nghiệm. Nghiệm thứ nhất là x₁ = 3, vì |3| = 3. Nghiệm thứ hai là x₂ = −3, vì |−3| = 3.

Ta thử thay đổi phương trình cho khó hơn: |2x + 1| = 5. Bên trong dấu giá trị tuyệt đối là một biểu thức phức tạp hơn. Nhưng vẫn có thể làm hoàn toàn như trên. Những số nào có giá trị tuyệt đối bằng 5? Vẫn là 5 và −5. Từ đó suy ra gì? Biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối, tức là 2x + 1, phải bằng 5 hoặc −5. Chỉ khi đó phương trình mới có nghiệm. Vậy ta giải các phương trình 2x + 1 = 5 và 2x + 1 = −5. Các phương trình này giải như phương trình bậc nhất thông thường. Ta được:

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& 5\\ 2x& =& 4\\ x& =& 2\end{array}$$

Và nghiệm thứ hai:

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& -5\\ 2x& =& -6\\ x& =& -3\end{array}$$

Vậy ta có hai nghiệm: x₁ = 2 và x₂ = −3. Có thể thử lại bằng cách thay vào phương trình ban đầu. Với x = 2 ta được: |2 · 2 + 1| = |4 + 1| = |5| = 5, với x = −3 ta có: |2 · (−3) + 1| = |−6 + 1| = |−5| = 5.

Bỏ dấu giá trị tuyệt đối

Tuy nhiên, cách làm trên khó áp dụng khi phương trình phức tạp hơn, chẳng hạn phương trình sau:

$$|4x+2|+|x-1|=6$$

Ở đây có hai biểu thức nằm trong dấu giá trị tuyệt đối nên cần một cách làm khác. Trước hết xét một ví dụ đơn giản hơn: biểu thức |x − 2| thế nào nếu lấy x thuộc khoảng (2; +∞)? Biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối luôn dương. Chẳng hạn, thay số 3, ta được: 3 − 2 = 1. Thay số 10, ta có: 10 − 2 = 8, v.v. Với mọi số thuộc khoảng này, biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối đều dương. Khi đó giá trị tuyệt đối làm thay đổi giá trị đó thế nào? Hoàn toàn không. Đây là một nhận xét quan trọng. Nếu biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối luôn dương thì có thể bỏ dấu giá trị tuyệt đối vì nó không cần thiết. Nếu lấy x thuộc khoảng (2; +∞) thì có đẳng thức |x − 2| = x − 2 (tức là đã bỏ dấu giá trị tuyệt đối).

Bây giờ xét trường hợp ngược lại: nếu lấy x thuộc khoảng (−∞; 2) thì sao? Biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối, tức là x − 2, có giá trị thế nào? Luôn âm! Thử thay số 1: 1 − 2 = −1, hoặc số 0: 0 − 2 = −2. Giá trị tuyệt đối làm gì với giá trị này? Nó biến giá trị thành số dương, tức là đổi dấu. Có thể đổi dấu bằng cách nhân với −1, vì 5 · (−1) = −5, nhưng cũng có −7 · (−1) = 7 và −15 · (−1) = 15.

Như vậy, nếu lấy x thuộc khoảng (−∞; 2) thì biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối luôn âm, nên giá trị tuyệt đối có tác dụng đổi dấu biểu thức, tức là nhân nó với −1. Có thể viết: với x thuộc (−∞; 2) thì |x − 2| = −(x − 2). Thử thay chẳng hạn số 0. Trước hết thay vào biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: |0 − 2| = |−2| = 2, rồi thay vào vế phải: −(0 − 2) = −(−2) = 2.

Như vậy, các khoảng như trên cho phép tách biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối thành hai biểu thức khác nhau, có thể giải hoàn toàn riêng rẽ. Điều này rất thuận tiện. Câu hỏi còn lại là làm thế nào để tìm các khoảng này?

Phương pháp chia khoảng

Khi nào biểu thức x − 2 đổi dấu? Từ phần trước, ta biết trên cả khoảng (−∞; 2) biểu thức âm, còn trên cả khoảng (2; +∞) biểu thức dương. Tại điểm x = 2 thì sao? Thay vào, ta thấy 2 − 2 = 0, tức là bằng 0. Điều này không phải ngẫu nhiên. Lí do thấy rõ nhất trên đồ thị hàm số bậc nhất:

Đồ thị hàm số bậc nhất là một đường thẳng, nó chỉ có thể cắt trục hoành một lần, và khi cắt trục hoành thì đổi dấu. Vì vậy, nếu hàm số bậc nhất cắt trục hoành tại điểm a thì trên khoảng (−∞; a) nó có dấu khác với dấu trên khoảng (a; +∞).

Do đó, để tìm các khoảng mà hàm số bậc nhất dương và các khoảng mà nó âm, chỉ cần tìm nghiệm của nó, tức là điểm x₀ mà tại đó hàm số bậc nhất f có giá trị bằng 0: f(x₀) = 0. Như vậy, để tìm các khoảng mà biểu thức x − 2 dương, trước hết giải phương trình x − 2 = 0. Nghiệm là x = 2. Khi đó có thể lập các khoảng: (−∞; 2) và (2; +∞). Trên các khoảng này ta tiếp tục giải phương trình, nhưng đã bỏ được dấu giá trị tuyệt đối.

Trở lại ví dụ ban đầu

Ở phần trên, ta đã nêu ví dụ:

$$|4x+2|+|x-1|=6$$

Giải thế nào? Trước hết tìm nghiệm của từng biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối, tức là của 4x + 2 và x − 1. Biểu thức 4x + 2 bằng 0 tại $x=-\frac{1}{2}$, biểu thức x − 1 bằng 0 tại x = 1. Vì có hai điểm như vậy nên tổng cộng sẽ có ba khoảng. Hai điểm này chia khoảng (−∞; +∞) thành các khoảng nhỏ hơn. Vậy ta được các khoảng $(-\mathrm{\infty };-\frac{1}{2})$, $[-\frac{1}{2};1]$ và (1; +∞). Các khoảng luôn được chọn sao cho phủ kín toàn bộ (−∞; +∞).

Bước tiếp theo là xác định trên mỗi khoảng các biểu thức dương hay âm. Để làm điều đó, ta dùng bảng xét dấu:

$$\begin{array}{cccc}x& (-\mathrm{\infty };-\frac{1}{2})& [-\frac{1}{2};1]& (1;+\mathrm{\infty })\\ 4x+2& -& +& +\\ x-1& -& -& +\end{array}$$

Dấu trừ − nghĩa là biểu thức âm trên khoảng đó, dấu cộng + nghĩa là biểu thức dương. Làm sao biết được? Ta thay một số bất kì thuộc khoảng đó. Chẳng hạn, ở khoảng giữa có thể thay số 0, vì tính toán đơn giản nhất. Khi đó với biểu thức 4x + 2 ta được 4 · 0 + 2 = 2, với x − 1 ta có 0 − 1 = −1.

Mẹo: nếu ở khoảng thứ nhất biểu thức âm và ở khoảng tiếp theo dương thì ở mọi khoảng sau đó biểu thức vẫn dương. Hàm số bậc nhất không thể đổi dấu hai lần, xem đồ thị hàm số bậc nhất ở trên.

Đến đây ta đã biết trên khoảng nào thì biểu thức nào dương hay âm. Phần tính toán tiếp theo chia thành ba bước, phải giải riêng trên từng khoảng.

Khoảng thứ nhất, tức là lấy x thuộc $(-\mathrm{\infty };-\frac{1}{2})$. Trên khoảng này cả hai biểu thức đều âm, nên khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối thì cả hai biểu thức phải đổi dấu. Trên khoảng này ta giải phương trình:

$$-(4x+2)-(x-1)=6$$

Giải phương trình này bằng các phép biến đổi tương đương:

$$\begin{array}{rcl}-(4x+2)-(x-1)& =& 6\\ -4x-2-x+1& =& 6\\ -5x-1& =& 6\\ -5x& =& 7\\ x& =& -\frac{7}{5}\end{array}$$

Chú ý rằng cần kiểm tra xem nghiệm có thuộc khoảng đang xét không. Hiện ta đang giả sử x thuộc khoảng $(-\mathrm{\infty };-\frac{1}{2})$, nên nếu giá trị tìm được không thuộc khoảng này thì không thể nhận. Số −7/5 thuộc khoảng $(-\mathrm{\infty };-\frac{1}{2})$, nên đây là một nghiệm của phương trình.

Khoảng thứ hai, tức là lấy x thuộc $[-\frac{1}{2};1]$. Trên khoảng này biểu thức 4x + 2 dương, còn biểu thức x − 1 vẫn âm. Vậy ta giải phương trình

$$4x+2-(x-1)=6$$

Lại biến đổi đơn giản:

$$\begin{array}{rcl}4x+2-(x-1)& =& 6\\ 4x+2-x+1& =& 6\\ 3x+3& =& 6\\ 3x& =& 3\\ x& =& 1\end{array}$$

Nghiệm có thuộc khoảng đang xét không? Có. Ta đã tìm được thêm một nghiệm của phương trình bậc nhất.

Khoảng thứ ba, tức là khoảng (1; +∞). Trên khoảng này cả hai biểu thức đều dương, nên có thể bỏ dấu giá trị tuyệt đối mà không cần thay đổi gì thêm. Vậy ta giải phương trình:

$$4x+2+x-1=6$$

Phương trình này giải dễ dàng:

$$\begin{array}{r}4x+2+x-1=6\\ 5x+1=6\\ 5x=5\\ x=1\end{array}$$

Ta được thêm một giá trị, trùng với giá trị ở khoảng trước. Tuy nhiên, đây có phải là nghiệm trên khoảng đang xét không? Không! Ta đang xét khoảng (1; +∞), số 1 không thuộc khoảng này, nên giá trị tìm được ở bước thứ ba này không được tính là nghiệm.

Phương trình bậc nhất chứa dấu giá trị tuyệt đối này có hai nghiệm, $S=\{-\frac{7}{5};1\}$.

Giải bằng đồ thị

Giống như phương trình bậc nhất thông thường, phương trình này cũng có thể giải bằng đồ thị. Vế trái là hàm số f(x) = |4x + 2|+|x − 1|, vế phải là g(x) = 6. Vẽ hai đồ thị này, ta thấy chúng cắt nhau tại hai điểm. Hoành độ của hai điểm này là nghiệm của phương trình.

Vậy tập nghiệm S gồm các số $S=\{-\frac{7}{5};1\}$.