절댓값이 있는 일차방정식

절댓값은 음이 아닌 수는 그대로 두고 음수는 양수로 바꾸는 함수이다. 일차방정식을 풀다 보면 절댓값이 나올 수 있다.

복습

절댓값을 어떻게 계산하고 쓰는지 떠올려 보자. 절댓값 안의 식은 세로선으로 |a|처럼 쓴다. “a의 절댓값”이라고 읽는다. 음이 아닌 수의 절댓값은 그 수 자신이다. 예: |3| = 3, |64| = 64, |π| = π이다. 하지만 음수의 절댓값은 양수이다. $|-7|=7,|-\pi |=\pi ,|-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}$이다. 0의 절댓값은 0이다.

간단한 예

절댓값이 있는 간단한 일차방정식의 예로 방정식 |x| = 3이 있다. 절댓값이 3이 되는 것은 언제일까? 그런 x는 양수 하나와 음수 하나, 모두 두 개이므로 방정식의 해는 두 개이다. |3| = 3이므로 첫 번째 해는 x₁ = 3이다. |−3| = 3이므로 두 번째 해는 x₂ = −3이다.

방정식을 조금 바꿔 더 어렵게 해 보자. |2x + 1| = 5이다. 절댓값 안에 더 복잡한 식이 있다. 하지만 방금과 똑같이 풀 수 있다. 절댓값이 5인 수는 무엇일까? 이번에도 5와 −5이다. 여기서 무엇을 알 수 있을까? 절댓값 안의 식, 즉 식 2x + 1이 5이거나 −5여야 한다. 그때만 방정식이 성립한다. 그래서 방정식 2x + 1 = 5와 2x + 1 = −5를 푼다. 이 방정식들은 보통의 일차방정식처럼 푼다. 결과는 다음과 같다.

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& 5\\ 2x& =& 4\\ x& =& 2\end{array}$$

두 번째 결과는 다음과 같다.

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& -5\\ 2x& =& -6\\ x& =& -3\end{array}$$

결과는 x₁ = 2와 x₂ = −3 두 개이다. 원래 방정식에 대입해 볼 수 있다. x = 2이면 |2 · 2 + 1| = |4 + 1| = |5| = 5이고, x = −3이면 |2 · (−3) + 1| = |−6 + 1| = |−5| = 5이다.

절댓값 없애기

하지만 방정식이 더 복잡하면 앞의 방법을 쓰기 어렵다. 예를 들어 다음 방정식을 보자.

$$|4x+2|+|x-1|=6$$

이번에는 절댓값 안의 식이 두 개이므로 다른 방법을 써야 한다. 먼저 조금 더 간단한 예를 보자. x를 구간 (2, ∞)에서 고르면 식 |x − 2|는 어떻게 될까? 절댓값 안의 식은 언제나 양수이다. 예를 들어 3을 넣으면 3 − 2 = 1이다. 10을 넣으면 10 − 2 = 8이다. 이 구간의 어떤 수를 넣어도 절댓값 안의 식은 양수이다. 그러면 절댓값은 이 값을 어떻게 바꿀까? 전혀 바꾸지 않는다. 이는 중요한 사실이다. 절댓값 안의 식이 언제나 양수이면 절댓값은 필요 없으므로 없앨 수 있다. x를 구간 (2, ∞)에서 고르면 등식 |x − 2| = x − 2가 성립한다(즉 절댓값을 없앴다).

이번에는 반대로 x를 구간 (−∞, 2)에서 고르면 어떻게 될까? 절댓값 안의 식, 즉 식 x − 2의 값은 어떨까? 언제나 음수이다! 1을 넣어 보면 1 − 2 = −1이고, 0을 넣으면 0 − 2 = −2이다. 절댓값은 이 값을 어떻게 바꿀까? 양수로 바꾼다. 즉 부호를 바꾼다. 부호는 −1을 곱해서 바꿀 수 있다. 5 · (−1) = −5이고, 또 −7 · (−1) = 7, −15 · (−1) = 15이기 때문이다.

따라서 x를 구간 (−∞, 2)에서 고르면 절댓값 안의 식은 언제나 음수이므로 절댓값이 작용해서 식의 부호를 바꾼다. 즉 식에 −1을 곱한다. 그래서 x가 (−∞, 2)에 있을 때 등식 |x − 2| = −(x − 2)가 성립한다고 쓸 수 있다. 예를 들어 0을 넣어 보자. 먼저 절댓값이 있는 식에 넣으면 |0 − 2| = |−2| = 2이고, 우변에 넣으면 −(0 − 2) = −(−2) = 2이다.

이렇게 구간을 나누면 절댓값이 있는 식을 두 개의 다른 식으로 나누어 완전히 따로 풀 수 있다. 이는 큰 장점이다. 이제 남은 문제는 이런 구간을 어떻게 찾느냐이다.

0이 되는 점으로 구간 나누기

식 x − 2의 부호는 언제 바뀌었을까? 앞 절에서 보았듯이 구간 (−∞, 2) 전체에서 식은 음수이고, 구간 (2, ∞) 전체에서 양수이다. x = 2에서는 어떨까? 대입하면 2 − 2 = 0, 즉 0이다. 이는 우연이 아니다. 그 이유는 일차함수의 그래프를 보면 가장 잘 알 수 있다.

일차함수의 그래프는 직선이고, 직선은 x축과 한 번만 만날 수 있으며 x축과 만나는 곳에서 부호가 바뀐다. 그래서 일차함수가 x축과 점 a에서 만나면 구간 (−∞, a)와 구간 (a, ∞)에서 부호가 다르다.

따라서 일차함수가 양수인 구간과 음수인 구간을 찾으려면 함숫값이 0이 되는 점, 즉 f(x₀) = 0을 만족하는 점 x₀만 찾으면 된다. 식 x − 2가 양수인 구간을 찾으려면 먼저 방정식 x − 2 = 0을 푼다. 해는 x = 2이다. 그러면 구간 (−∞, 2)와 (2, ∞)를 만들 수 있다. 이 구간들에서는 절댓값을 없앤 방정식을 풀면 된다.

드디어 처음 예제로…

한참 전에 다음 예제를 보았다.

$$|4x+2|+|x-1|=6$$

어떻게 풀까? 먼저 절댓값 안의 각 식, 즉 식 4x + 2와 x − 1이 0이 되는 점을 찾는다. 식 4x + 2는 $x=-\frac{1}{2}$에서, 식 x − 1은 x = 1에서 0이 된다. 0이 되는 점이 두 개이므로 구간은 모두 세 개이다. 0이 되는 점마다 구간 (−∞, ∞)를 나눈다. 그래서 구간 $(-\mathrm{\infty },-\frac{1}{2})$, $[-\frac{1}{2},1]$, (1, ∞)를 얻는다. 구간은 언제나 (−∞, ∞) 전체를 덮도록 고른다.

다음 단계에서는 각 구간에서 식이 양수인지 음수인지 알아내야 한다. 다음 표를 이용한다.

$$\begin{array}{cccc}x& (-\mathrm{\infty },-\frac{1}{2})& [-\frac{1}{2},1]& (1,\mathrm{\infty })\\ 4x+2& -& +& +\\ x-1& -& -& +\end{array}$$

마이너스 −는 그 구간에서 식이 음수라는 뜻이고, 플러스 +는 양수라는 뜻이다. 어떻게 알아냈을까? 구간의 아무 수나 대입했다. 예를 들어 가운데 구간에서는 계산이 가장 쉬운 0을 대입할 수 있다. 그러면 식 4x + 2는 4 · 0 + 2 = 2이고, x − 1은 0 − 1 = −1이다.

팁: 첫 번째 구간에서 식이 음수이고 다음 구간에서 양수이면, 그 뒤의 구간에서도 식은 다시 양수이다. 일차함수는 부호를 두 번 바꿀 수 없다. 위의 일차함수 그래프를 보자.

이제 어느 구간에서 어느 식이 양수이고 음수인지 알았다. 계산을 세 단계로 나누어 구간마다 따로 풀어야 한다.

첫 번째 구간, 즉 x를 $(-\mathrm{\infty },-\frac{1}{2})$에서 고르는 경우이다. 이 구간에서는 두 식이 모두 음수이므로 절댓값을 없애려면 두 식의 부호를 모두 바꿔야 한다. 이 구간에서는 다음 방정식을 푼다.

$$-(4x+2)-(x-1)=6$$

이 방정식은 등식의 성질을 이용해 간단히 푼다.

$$\begin{array}{rcl}-(4x+2)-(x-1)& =& 6\\ -4x-2-x+1& =& 6\\ -5x-1& =& 6\\ -5x& =& 7\\ x& =& -\frac{7}{5}\end{array}$$

해가 지금 다루는 구간에 속하는지 확인해야 한다는 점에 주의하자. 지금은 x를 구간 $(-\mathrm{\infty },-\frac{1}{2})$에서 고른다고 가정하므로, 이 구간에 없는 해가 나오면 쓸 수 없다. $-\frac{7}{5}$은 구간 $(-\mathrm{\infty },-\frac{1}{2})$에 있으므로 방정식의 올바른 해이다.

두 번째 구간, 즉 x를 $[-\frac{1}{2},1]$에서 고르는 경우이다. 이 구간에서는 식 4x + 2는 양수이고 식 x − 1은 여전히 음수이다. 따라서 다음 방정식을 푼다.

$$4x+2-(x-1)=6$$

이번에도 간단히 정리한다.

$$\begin{array}{rcl}4x+2-(x-1)& =& 6\\ 4x+2-x+1& =& 6\\ 3x+3& =& 6\\ 3x& =& 3\\ x& =& 1\end{array}$$

해가 지금 다루는 구간에 속할까? 그렇다. 일차방정식의 해를 하나 더 찾았다.

세 번째 구간, 즉 구간 (1, ∞)이다. 이 구간에서는 두 식이 모두 양수이므로 절댓값을 그대로 없앨 수 있다. 따라서 다음 방정식을 푼다.

$$4x+2+x-1=6$$

이 방정식은 쉽게 풀린다.

$$\begin{array}{r}4x+2+x-1=6\\ 5x+1=6\\ 5x=5\\ x=1\end{array}$$

앞 구간과 같은 결과가 또 나왔다. 그런데 이 값은 지금 다루는 구간에서 올바른 해일까? 아니다! 지금은 열린구간 (1, ∞)에서 다루고 있고, 1은 이 구간에 속하지 않는다. 그래서 세 번째 단계에서 찾은 이 해는 올바른 해로 셀 수 없다.

절댓값이 있는 이 일차방정식의 해는 $x=-\frac{7}{5}$과 x = 1 두 개이다.

그래프를 이용한 풀이

보통의 일차방정식처럼 이 방정식도 그래프로 풀 수 있다. 좌변에는 함수 f(x) = |4x + 2|+|x − 1|, 우변에는 g(x) = 6이 있다. 두 그래프를 그리면 두 점에서 만난다. 이 점들의 x좌표가 방정식의 해이다.

따라서 해는 $x=-\frac{7}{5}$과 x = 1이다.