이항방정식

이항방정식은 항이 두 개뿐인 대수방정식이다.

정의

이항방정식의 일반형은 다음과 같다.

$$a{x}^n+b=0,$$

여기서 a, b는 임의의 실수나 복소수이다. 또 a, b ≠ 0이고 n은 자연수라고 하자.

이항방정식의 특별한 경우는 다음과 같다.

• n = 1: 방정식은 ax + b = 0 꼴이고 일차방정식이다.
• n = 2: 방정식은 ax² + b = 0 꼴이고 이차방정식이다.

모든 이항방정식은 양변을 a로 나누어 정규형(최고차항의 계수가 1인 꼴)으로 바꿀 수 있다. 그러면 방정식은 다음과 같다.

$$x^n+\frac{b}{a}=0$$

분수 b/a를 c로 치환할 수도 있다. 즉 c = b/a라고 하면 방정식은 다음과 같다.

$$x^n+c=0$$

이항방정식의 풀이

먼저 방정식을 정규형으로 바꾼 다음 c를 우변으로 이항하면 다음 꼴을 얻는다.

$$x^n=-c$$

이어서 양변의 n제곱근을 구한다(거듭제곱근).

$$x=\sqrt[n]{-c}$$

그다음 복소수의 거듭제곱근 공식을 이용해 푼다. 공식은 다음과 같다.

$$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}[\cos (\frac{\alpha }{n}+\frac{2k\pi }{n})+i\sin (\frac{\alpha }{n}+\frac{2k\pi }{n})]$$

여기서

$$z=|z|(\cos \alpha +i\sin \alpha )$$

이고, 공식은 k = 0, 1, …, n − 1에 대해 성립한다.

예제: 방정식 x³ − 4 = 0의 근을 구하시오. 정규형으로 바꾸고 세제곱근을 구하면 방정식은 다음과 같다.

$$x=\sqrt[3]{4}$$

−c = 4는 허수부분이 없으므로 각 α는 0이고, 공식에서 생략할 수 있다. 방정식의 k번째 근은 다음과 같다.

$$x_k=\sqrt[3]{4}[\cos \left(\frac{2k\pi }{3}\right)+i\sin \left(\frac{2k\pi }{3}\right)]$$

이제 이 공식을 k = 0, 1, 2에 적용한다. k = 0이면 다음을 얻는다.

$$x_0=\sqrt[3]{4}(\cos 0+i\sin 0)=\sqrt[3]{4}$$

k = 1이면 다음과 같다.

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \sqrt[3]{4}(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3})\\ & =& \sqrt[3]{4}(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})\\ & =& \frac{1}{2}\sqrt[3]{4}(-1+i\sqrt{3})\end{array}$$

k = 2이면 다음과 같다.

$$\begin{array}{rcl}{x}_2& =& \sqrt[3]{4}(\cos \frac{4\pi }{3}+i\sin \frac{4\pi }{3})\\ & =& \sqrt[3]{4}(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})\\ & =& -\frac{1}{2}\sqrt[3]{4}(1+i\sqrt{3})\end{array}$$

이것으로 끝이다. 세 근 x₀, x₁, x₂를 얻었다.