일차부등식

일차부등식은 보통의 일차방정식과 비슷한 변형으로 푼다. 일차부등식은 대개 ax + b>0 꼴이다(부등호가 ‘작다’, ‘크거나 같다’, ‘작거나 같다’일 수도 있다). 이제 부등식을 x>−b/a 꼴로 바꾸기만 하면 답이 나온다. 물론 a>0이라고 가정한다. a가 음수이면 나눌 때 부등호의 방향이 바뀌어 x<−b/a가 된다.

보통의 일차부등식

일차부등식은 부등식의 성질을 이용해 푼다.

• 간단한 예는 다음과 같다.

  $$3x+9>3$$

  먼저 미지수가 없는 항을 모두 우변으로 이항한다. 양변에 −9를 더하면 다음 부등식을 얻는다.

  $$\begin{array}{rcl}3x+9-9& >& 3-9\\ 3x& >& -6\end{array}$$

  이어서 양변을 3으로 나눈다.

  $$\begin{array}{rcl}3x/3& >& -6/3\\ x& >& -2\end{array}$$

  이것이 부등식의 답이다. 부등식은 x > −2인 모든 x에서 성립한다.

  부등식을 그래프로 풀 수도 있다. 부등식 3x + 9 > 3의 좌변과 우변을 각각 함수로 보고 두 그래프를 그린다. 두 함수는 f(x) = 3x + 9와 g(x) = 3이다. 그래프는 다음과 같다.

  

  두 그래프는 x좌표가 −2인 한 점 x₁에서 만난다. 또 x > x₁인 모든 x, 즉 구간 (−2, ∞)의 모든 x에서 빨간 함수 3x + 9가 파란 함수 3보다 “위”에 있다(여기서 “위”는 y좌표가 더 크다는 뜻이다). 조금 전에 계산한 결과와 같다.

• 마이너스가 많을 때는 부등식 전체에 −1을 곱하는 것이 편할 때가 있다. 이때는 양변의 부호뿐 아니라 부등호의 방향도 바꿔야 한다. 크다는 작다로, 작다는 크다로 바꾼다.

  $$\begin{array}{rcl}-x& <& -10/\cdot (-1)\\ x& >& 10\end{array}$$

  물론 이것은 부등식 전체에 어떤 음수를 곱할 때든 마찬가지이다. 빠른 예를 하나 더 보자.

  $$\begin{array}{rcl}-3x+8& <& 2x-7\\ -5x& <& -15/\cdot (-\frac{1}{5})\\ x& >& 3\end{array}$$

  첫 단계에서는 늘 하던 대로 양변에 −2x를 더해 변수가 있는 항을 모두 좌변으로 옮긴다. 동시에 8을 빼서 상수를 우변으로 옮긴다. 그다음 양변에 $-\frac{1}{5}$을 곱하기만 하면 된다.

  함수 f(x) = −3x + 8과 g(x) = 2x − 7을 그려서 부등식을 그래프로 풀어 보자.

  

  x > 3일 때 언제나 빨간 함수 −3x + 8의 그래프가 파란 함수 2x − 7의 그래프보다 아래에 있다는 것을 알 수 있다.

분모에 변수가 있는 경우

분모에 변수가 있는 분수가 들어 있는 일차부등식은 조금 더 복잡하게 푼다. 예를 들어 다음 부등식을 보자.

$$\frac{2}{x}+3>4$$

분모의 미지수는 부호를 모르므로 부등식에 곱할 수 없다. 변수의 값이 음수이면 부등호의 방향을 바꿔야 하기 때문이다. 그래서 부등식에 분모의 변수를 그냥 곱할 수는 없다. 이는 부등식의 동치 변형이 아니다.

좌변에는 분수 하나, 우변에는 0이 오도록 부등식을 바꿔 보자. 먼저 양변에 −4를 더하면 다음 꼴을 얻는다.

$$\begin{array}{r}\frac{2}{x}+3>4\\ \frac{2}{x}-1>0\end{array}$$

이제 좌변의 식을 분수 하나로 만들어야 한다. −1에 분수 $\frac{x}{x}$를 곱해 두 식을 통분한 다음 분수를 더한다.

$$\begin{array}{rcl}\frac{2}{x}-1& >& 0\\ \frac{2}{x}-\frac{x}{x}& >& 0\\ \frac{2-x}{x}& >& 0\end{array}$$

이제 문제는 분수가 언제 양수이냐는 것이다. 분자와 분모가 모두 양수이거나 모두 음수이면 분수는 양수이다. 하나는 양수이고 다른 하나는 음수이면 분수는 음수이다. 예를 들어 분수 $\frac{4}{3}$는 양수이다. 분수 $\frac{-3}{4}$은 음수이다. 분수 $\frac{-3}{-4}$은 마이너스가 상쇄되므로 다시 양수이다. 일반적으로 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\begin{array}{rcl}\frac{\text{양수}}{\text{양수}}& =& \text{양수}\\ \frac{\text{양수}}{\text{음수}}& =& \text{음수}\\ \frac{\text{음수}}{\text{양수}}& =& \text{음수}\\ \frac{\text{음수}}{\text{음수}}& =& \text{양수}\end{array}$$

따라서 부등식 두 묶음을 풀어야 한다. 먼저 분자와 분모가 모두 양수인 경우를 찾는다.

1. 분자와 분모가 모두 양수이려면 다음 두 부등식이 동시에 성립해야 한다.

   $$2-x>0\wedge x>0$$

   첫 번째 부등식에서는 2를 우변으로 이항하고 −1을 곱하기만 하면 된다.

   $$\begin{array}{rcl}2-x& >& 0\\ -x& >& -2\\ x& <& 2\end{array}$$

   첫 번째 부등식의 해를 얻었다. 두 번째 부등식 x > 0은 더 풀 것이 없다. 이제 이 해들의 교집합을 구해야 한다. 두 해가 동시에 성립하는 경우, 즉 분자가 양수이면서 분모도 양수인 경우를 찾기 때문이다. 첫 번째 해는 구간 (−∞,2)로, 두 번째 해는 구간 (0,∞)로 쓸 수 있다. 이 구간들의 교집합을 구한다.

   $$(-\mathrm{\infty },2)\cap (0,\mathrm{\infty })=(0,2)$$

   이것이 부등식의 해의 일부이다. 이 구간의 수를 넣으면 부등식이 성립한다. 예를 들어 구간 (0, 2)에 있는 수 x = 1을 넣으면 부등식 $\frac{2}{1}+3>4$, 즉 5 > 4를 얻는다. 이제 분자와 분모가 모두 음수인 경우를 살펴보는 일이 남았다.

2. 분자와 분모가 모두 음수이려면 다음 부등식을 풀어야 한다.

   $$2-x<0\wedge x<0$$

   부등식 2 − x < 0을 다시 빠르게 푼다.

   $$\begin{array}{rcl}2-x& <& 0\\ -x& <& -2\\ x& >& 2\end{array}$$

   두 번째 해는 간단히 x < 0이다. 구간으로 쓰면 (2,∞)와 (−∞, 0)이고, 교집합을 구한다.

   $$(2,\mathrm{\infty })\cap (-\mathrm{\infty },0)=\mathrm{\varnothing }$$

   공집합이 나왔다. 이것은 무슨 뜻일까? 분수 $\frac{2-x}{x}$는 분자와 분모가 동시에 음수일 수 없다는 뜻이다.

두 결과의 합집합을 구하면 해의 집합 S를 얻는다.

$$S=(0,2)\cup \mathrm{\varnothing }=(0,2)$$

부등식 $\frac{2}{x}+3>4$의 해는 구간 (0, 2)의 모든 x이다. 함수 $f(x)=\frac{2}{x}+3$과 g(x) = 4를 그래프로 나타낼 수 있다.

빨간 함수 $f(x)=\frac{2}{x}+3$의 그래프가 파란 함수 g(x) = 4의 그래프보다 위에 있는 것은 구간 (0, 2)에서뿐이다.

절댓값이 있는 일차부등식

절댓값이 있는 부등식은 조금 더 재미있다. 절댓값 안의 식이 양수여서 부호가 바뀌지 않는 경우와, 음수여서 부호가 바뀌는 경우를 따로 계산해야 한다. 사실상 부등식 하나 안에 부등식 두 개가 있는 셈이다. 간단한 예를 보자.

$$|x+5|<12$$

가장 먼저 절댓값 기호 안의 식이 0이 되는 값을 구해야 한다. 이 값은 부호가 바뀌는 구간과 바뀌지 않는 구간을 나누는 기준이 된다. 그래서 먼저 다음 방정식을 푼다.

$$x+5=0$$

결과는 x = −5이다. 이 결과로 x의 값을 두 구간으로 나눈다. 한쪽에서는 함수 x + 5가 양수이고 다른 쪽에서는 음수이다. 구간 (−∞, −5)에서는 음수, 구간 [−5, ∞)에서는 양수, 정확히는 음이 아닌 수가 나온다. 예로 첫째 줄은 첫 번째 구간의 수, 둘째 줄은 두 번째 구간의 수이다.

$$\begin{array}{rcl}-8+5& =& -3\\ 13+5& =& 18\end{array}$$

이것은 무엇을 뜻할까? x에 −5보다 큰 값을 넣으면 x + 5가 양수이므로 절댓값은 결과를 바꾸지 않는다. 반대로 x가 −5보다 작으면 x + 5는 음수이고 절댓값은 이것을 양수로 바꾼다. 그래서 부등식에서 이 두 경우를 나누어야 한다.

먼저 x를 구간 [−5, ∞)에서 고르는 경우의 결과를 구한다. 이때는 절댓값을 없애기만 하면 되고 부호는 바뀌지 않는다.

$$\begin{array}{rcl}x+5& <& 12\\ x& <& 7\\ x& \in & (-\mathrm{\infty },7)\end{array}$$

첫 번째 해가 거의 나왔다. 그런데 지금 x를 고르는 구간과의 교집합을 구해야 한다. 지금 다루는 범위는 구간 [−5, ∞)이다. 따라서 예를 들어 x = −15는 이 구간에 속하지 않으므로 이 일차부등식의 해가 될 수 없다. 그래서 교집합을 구한다.

$$[-5,\mathrm{\infty })\cap (-\mathrm{\infty },7)=[-5,7)$$

이것이 첫 번째 결과이다. 이제 x를 구간 (−∞, −5)에서 고르는 경우의 결과를 구해야 한다. 이 구간에서는 절댓값이 부호를 바꾼다. 부등식에서 절댓값을 없애려면 부호를 직접 바꿔야 한다. 즉 절댓값 안의 식에 −1을 곱해 부호를 바꾼다. 다음과 같이 다시 쓴다.

$$\begin{array}{rcl}|x+5|& <& 12\\ -(x+5)& <& 12\\ -x-5& <& 12\end{array}$$

양변에 5를 더한다.

$$-x<17$$

그리고 −1을 곱한다.

$$x>-17$$

다음 결과를 얻는다.

$$x\in (-17,\mathrm{\infty })$$

하지만 앞에서처럼 x는 구간 (−∞, −5)에서 고르므로 이 구간과 결과의 교집합을 구해야 한다.

$$(-17,\mathrm{\infty })\cap (-\mathrm{\infty },-5)=(-17,-5)$$

이제 두 결과를 얻었으므로 합집합을 구하기만 하면 된다.

$$x\in [-5,7)\cup (-17,-5)=(-17,7)$$

확인을 위해 두 함수의 그래프를 보자.

닫힌구간과 열린구간을 언제 쓰는지도 조금 덧붙이자. x>0처럼 등호가 없는 부등식에서는 x가 0일 수 없으므로 열린구간을 쓴다. x ≥ 0처럼 등호가 있는 부등식에서는 x가 0일 수 있으므로 닫힌구간을 쓴다. 예를 들어 x = 7은 “아슬아슬하게” 해에 들어가지 않는다. 방금 푼 부등식에 이 값을 넣으면 다음을 얻는다.

$$\begin{array}{rcl}|x+5|& <& 12\\ (7+5)& <& 12\\ 12& <& 12\end{array}$$

부등식이 성립하지 않는다. 12는 12보다 작지 않다.