무리방정식

무리방정식은 미지수가 근호 안에 들어 있는 방정식이다. ‘무리’라는 이름은 방정식이 무리하다는 뜻이 아니라, 근호가 나오고 그 결과로 무리수가 자주 나온다는 뜻이다. 예를 들어 다음과 같다.

$$\sqrt{x+3}=5$$

근호는 양변을 제곱해서 없앤다. ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$이므로 제곱과 제곱근이 서로 상쇄된다.

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+3}& =& 5{/}^2\\ x+3& =& 25/-3\\ x& =& 22\end{array}$$

확실히 하려고 검산을 한다. 결과를 문제의 좌변(L)과 우변(P)에 따로 대입하여 비교한다.

$$\begin{array}{rcl}L& =& \sqrt{22+3}=\sqrt{25}=5\\ P& =& 5\end{array}$$

L = P가 나왔으므로 맞다. 이렇게 대입하는 것은 지나치게 꼼꼼해 보이지만, 무리방정식에서는 제곱하는 것과 마찬가지로 풀이의 한 부분이다. 검산하지 않으면 답을 얻은 것이 아니다. 풀이 전체는 네 단계이다. 근호를 한쪽으로 모으고, 양변을 제곱하고, 나온 방정식을 풀고, 마지막으로 검산한다.

검산을 꼭 해야 하는 이유

양변을 제곱하는 것은 동치 변형이 아니다. 두 수가 같으면 그 제곱도 같지만, 거꾸로는 성립하지 않는다. 3 ≠ − 3이지만 3² = (−3)² = 9이다. 그래서 제곱하면 원래 방정식보다 해가 더 많은 방정식이 생길 수 있다. 다음 방정식을 보자.

$$\sqrt{x+2}=x.$$

양변을 제곱하고 모든 항을 한쪽으로 이항한다.

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+2}& =& x{/}^2\\ x+2& =& x^2/-x-2\\ 0& =& x^2-x-2\end{array}$$

이차방정식을 얻었다. (x − 2)(x + 1) = 0으로 인수분해되므로 근은 x = 2와 x = −1이다. 이제 검산할 차례이다. 먼저 2로 확인한다.

$$\begin{array}{rcl}L& =& \sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\\ P& =& 2\end{array}$$

양변이 같으므로 L = P이고, 2는 해이다. 그러면 −1은 어떨까?

$$\begin{array}{rcl}L& =& \sqrt{-1+2}=\sqrt{1}=1\\ P& =& -1\end{array}$$

좌변은 1, 우변은 −1이므로 L ≠ P이다. 계산에서 정직하게 나왔는데도 −1은 해가 아니다. 방정식의 해는 x = 2 하나뿐이다.

이 가짜 근(무연근)은 어디서 왔을까? 그림을 보면 가장 잘 알 수 있다. 방정식의 좌변은 함수 $y=\sqrt{x+2}$(빨간색), 우변은 직선 y = x(파란색)이다. 방정식의 해는 두 선이 만나는 곳인데, 그런 점은 (2, 2), 즉 x = 2 하나뿐이다.

회색 점선은 함수 $y=-\sqrt{x+2}$이다. $y=\sqrt{x+2}$와 $y=-\sqrt{x+2}$를 제곱하면 마이너스가 사라지고 둘 다 같은 y² = x + 2가 된다. 즉 제곱하면 방정식 $\sqrt{x+2}=x$와 $-\sqrt{x+2}=x$가 하나로 합쳐지고, 이차방정식은 두 곡선과 직선의 교점을 모두 찾는다. 회색 곡선은 직선과 점 (−1, −1)에서 만나는데, −1은 여기서 나온 것이다. 이런 불청객은 검산으로만 확실히 찾아낼 수 있다.

그림에서 알 수 있는 것이 하나 더 있다. 빨간 곡선과 회색 곡선 모두 x = −2에서야 시작한다. 근호 안에는 음수가 올 수 없으므로 방정식은 x ≥ − 2에서만 의미가 있다. 가짜 근 −1은 이 범위에 들어가므로 이 조건으로는 걸러지지 않는다. 검산을 해야만 드러난다.

먼저 근호를 한쪽으로 모으기

다음 방정식을 풀어 보자.

$$\sqrt{2x-3}+3=x.$$

좌변을 3과 함께 그대로 제곱하고 싶어진다. 그런데 합의 제곱은 항별로 계산하지 않는다. (a + b)² = a² + 2ab + b²이므로 다음이 나온다.

$${(\sqrt{2x-3}+3)}^2=2x-3+6\sqrt{2x-3}+9$$

그러면 근호는 더 보기 싫은 모습으로 방정식에 그대로 남는다. 그래서 먼저 근호를 한쪽에 따로 모으고 그다음에 제곱한다.

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{2x-3}+3& =& x/-3\\ \sqrt{2x-3}& =& x-3{/}^2\\ 2x-3& =& x^2-6x+9/-2x+3\\ 0& =& x^2-8x+12\end{array}$$

우변도 같은 공식으로 제곱했다. (x − 3)² = x² − 6x + 9이다. 이차방정식은 (x − 6)(x − 2) = 0으로 인수분해되고 근은 x = 6과 x = 2이다. 6부터 검산한다.

$$\begin{array}{rcl}L& =& \sqrt{2\cdot 6-3}+3=\sqrt{9}+3=6\\ P& =& 6\end{array}$$

L = P이므로 6은 해이다. 이번에는 2이다.

$$\begin{array}{rcl}L& =& \sqrt{2\cdot 2-3}+3=\sqrt{1}+3=4\\ P& =& 2\end{array}$$

4는 2가 아니므로 L ≠ P이다. 함정이다. 해는 x = 6뿐이다.

왜 2는 검산에서 떨어졌을까? 근호를 한쪽에 모은 뒤의 식은 $\sqrt{2x-3}=x-3$이었다. 근호의 값은 결코 음수가 아니므로 이 방정식은 x − 3이 0 이상인 x에서만 성립할 수 있다. x = 2이면 우변은 −1이고, 근호는 이런 값을 낼 수 없다. 이 조건을 미리 확인할 수도 있지만, 마지막에 대입하는 것이 더 편하고 모든 것을 한 번에 잡아낸다.

검산을 통과하는 근이 하나도 없을 때도 있다. 방정식 $\sqrt{x}+5=1$은 근호를 한쪽에 모으면 $\sqrt{x}=-4$가 된다. 제곱하면 x = 16이 나오지만, 검산하면 $L=\sqrt{16}+5=9$, P = 1이므로 L ≠ P이다. 이 방정식은 해가 없다. 근호의 값은 결코 −4와 같을 수 없으므로 처음부터 알 수 있었다.

근호가 두 개일 때

방정식에 근호가 두 개 있으면 대개 한 번 제곱하는 것으로는 부족하다. 하지만 방법은 같다. 근호를 한쪽에 모으고, 제곱하고, 근호가 남으면 같은 과정을 되풀이한다. 다음 방정식을 풀어 보자.

$$\sqrt{x+5}-\sqrt{x}=1.$$

두 근호를 한꺼번에 한쪽에 모을 수는 없으므로, 적어도 $\sqrt{x}$를 우변으로 옮겨 근호가 양쪽에 하나씩 있게 한다. 좌변의 차를 그대로 제곱하면 곱 $\sqrt{x+5}\cdot \sqrt{x}$가 생겨서 풀이가 훨씬 복잡해진다. 그래서 다음과 같이 제곱한다.

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+5}& =& 1+\sqrt{x}{/}^2\\ x+5& =& 1+2\sqrt{x}+x\end{array}$$

우변에서도 이항식을 제곱했으므로 가운데 항 $2\sqrt{x}$가 생겼다. 다행히 x끼리는 지워지고 근호 하나만 남는다.

$$\begin{array}{rcl}x+5& =& 1+2\sqrt{x}+x/-x-1\\ 4& =& 2\sqrt{x}/÷2\\ 2& =& \sqrt{x}{/}^2\\ 4& =& x\end{array}$$

두 번 제곱했으므로 검산이 더욱 필요하다.

$$\begin{array}{rcl}L& =& \sqrt{4+5}-\sqrt{4}=3-2=1\\ P& =& 1\end{array}$$

L = P이므로 맞다. 방정식의 해는 x = 4이다.