삼각방정식

삼각방정식은 삼각함수, 즉 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트가 들어 있는 방정식이다.

기본 삼각방정식

방정식 sin x = 0을 보자. 어떤 x에서 이 방정식이 성립할까? 사인은 언제 0일까? 먼저 그래프를 보자.

sin x는 꽤 자주 0이 된다. 구체적으로는 −π, 0, π, 2π 등에서이다. 사인은 주기함수이므로 해들 사이의 간격이 일정하다. 이 경우 간격의 길이는 π이다. 그래서 이 방정식의 모든 해의 집합을 R이라고 하면 다음과 같이 정의할 수 있다.

$$R=\{K\cdot \pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

즉 K가 정수일 때 π의 모든 K배이다. 이렇게 방정식 sin x = 0의 모든 해의 집합을 나타냈다(한국 교과서에서는 보통 K 대신 n을 써서 “x = nπ (n은 정수)”라고 쓴다).

사인과 코사인의 치역은 구간 [−1, 1]이므로 방정식 sin x = 2는 해가 없다. 식 sin x의 값이 1보다 커지는 x는 찾을 수 없기 때문이다. 물론 방정식 3 · sin x = 2는 해가 있다. 양변을 3으로 나누면 우변이 1보다 작은 수가 되기 때문이다. 방정식 sin x = 2/3의 근을 찾으면 된다.

간단한 예제 풀기

간단한 삼각방정식은 예를 들어 그래프나 단위원에서 값을 읽고, 주기를 찾아 결과에 더하는 방법으로 푼다. 예: 다음 방정식을 푸시오.

$$\sin x=\frac{1}{2}$$

사인 함수의 그래프는 위에 있으므로 곡선의 값이 $\frac{1}{2}$이 되는 곳을 본다. 1/6π와 5/6π이다. 삼각함수의 기본 특수각 값은 꼭 외워 두자. 그렇지 않으면 그래프를 들여다봐도 소용이 없다.

이제 모든 해의 집합을 만들기 위해 주기를 정해야 한다. 사인 함수의 주기는 2π이다. 그래프를 보면 언제나 2π마다 함수가 되풀이된다는 것을 알 수 있다.

방정식의 해 하나가 1/6π이면, K가 정수일 때 수 1/6π + 2Kπ도 모두 방정식의 해이다. 그곳에서 사인 함수는 같은 함숫값을 갖기 때문이다. 2K는 짝수만 원한다는 뜻이다. K에 어떤 정수를 넣고 2를 곱하면 짝수가 된다. 두 번째 근 5/6π도 마찬가지이다. 5/6π, 5/6π + 14π, 5/6π − 82π에서 함수 sin x는 같은 함숫값을 가지므로 모든 5/6π + 2Kπ가 방정식의 해이다.

결과 집합 R을 쓴다. 이것은 앞의 두 결과의 합집합이다.

$$R=\{\frac{1}{6}\pi +2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}\cup \{\frac{5}{6}\pi +2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

그래프로는 함수 sin x의 그래프(빨간색)와 함수 $y=\frac{1}{2}$의 그래프(초록색)의 교점으로 해를 나타낼 수 있다.

예를 들어 K에 K = 0을 넣으면 다음 해를 얻는다.

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{1}{6}\pi +2K\pi =\frac{1}{6}\pi +2\cdot 0\cdot \pi =\frac{1}{6}\pi \\ x_2& =& \frac{5}{6}\pi +2K\pi =\frac{5}{6}\pi +2\cdot 0\cdot \pi =\frac{5}{6}\pi \end{array}$$

즉 x₁ = 1/6π, x₂ = 5/6π이다. 그림에서는 점 B와 C에 해당한다. 두 점의 x좌표가 각각 1/6π와 5/6π이기 때문이다. K = 1을 넣으면 점 D와 E를 얻는다.

치환

함수 안에 더 복잡한 식이 있으면 치환을 쓸 수 있다. 예를 들어 방정식 sin 2x = 1의 답을 구하려면 a = 2x로 치환하고, 앞 절에서 본 것처럼 방정식 sin a = 1을 푼다. 치환은 보통 함수에 넣는 식, 여기서는 2x를 다른 미지수로 바꾸어 쓰는 것이다. 이름은 아무렇게나 붙여도 되는데, 여기서는 a로 했다. q = 2x나 귤 = 2x로 치환하고 sin귤 = 1이라고 써도 된다.

치환을 하면 계산하는 식이 간단해진다. 식 a가 사실은 2x와 같다는 것은 나중에 처리한다.

이제 방정식 sin a = 1을 푼다. 여기서 a가 미지수이다. 사인이 1이 되는 곳을 찾는다. 사인은 π/2 + 2Kπ에서 1이다. 따라서 방정식 sin a = 1의 근은 다음 집합의 원소이다.

$$R=\{\frac{\pi }{2}+2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}.$$

마지막으로 치환을 떠올려 원래대로 돌려야 한다. 방정식 sin a = 1의 해는 앞의 집합 R의 원소라는 것을 안다. 하지만 구하려는 것은 다른 방정식 sin 2x = 1의 해이다. 그리고 a = 2x라는 것을 알고 있다.

집합 R에서 해 하나를 골라 보자. 예를 들어 K = 1이면 구체적인 해 a = π/2 + 2π를 얻는다. 이 점에서 방정식 sin a = 1이 성립한다. a = 2x이므로 2x = π/2 + 2π도 성립한다(a 대신 2x를 썼을 뿐이다).

그런데 구하려는 것은 2x가 아니라 x의 값이므로 양변을 2로 나눈다. 그러면 방정식 x = π/4 + π를 얻는다. 이렇게 방정식 sin 2x = 1의 구체적인 해를 하나 얻었다.

모든 해를 구하려면 집합 R의 모든 원소에 대해 이 변형을 해야 한다. 그래서 다음 방정식을 세운다.

$$2x=\frac{\pi }{2}+2K\pi$$

그리고 x에 대해 정리한다. 즉 양변을 2로 나눈다.

$$x=\frac{\pi }{4}+K\pi$$

이것이 최종 해이다. 새로운 집합 R'으로 쓰면 다음과 같다.

$$R^{\prime }=\{\frac{\pi }{4}+K\pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

이번에도 그래프로 해가 맞는지 확인할 수 있다. 빨간색은 함수 sin 2x의 그래프, 초록색은 함수 y = 1의 그래프이다.

K에 K = 0을 넣으면 x = π/4를 얻는데, 이것은 점 C이다. K = 2를 넣으면 x = π/4 + 2π를 얻는데, 이것은 점 E이다.

공식

삼각방정식을 풀 때는 여러 가지 공식을 자주 쓰므로 알아 두어야 한다. 기본적인 것도 있고 더 복잡한 것도 있다. 삼각함수의 공식은 따로 정리해 두었으니 그곳을 보자.

예제

1. 방정식 sin(3x − π/2) = 0을 푸시오.

   간단히 a = 3x − π/2로 치환하고 방정식 sin a = 0을 푼다. 사인은 a = Kπ일 때 0이라는 것을 이미 안다. 치환한 식을 되돌리고 방정식을 푼다.

   $$3x-\frac{\pi }{2}=K\pi$$

   먼저 π/2를 우변으로 이항한다. 즉 양변에 π/2를 더한다.

   $$3x=K\pi +\frac{\pi }{2}$$

   이제 양변을 3으로 나눈다.

   $$x=\frac{K\pi }{3}+\frac{\pi }{6}$$

   결과는 다음과 같이 정의되는 집합 R₁이다.

   $$R_1=\{\frac{K\pi }{3}+\frac{\pi }{6}|K\in \mathbb{Z}\}$$

   이번에도 그림을 보자.

   

   K = 1이면 x = π/3 + π/6 = π/2, 즉 점 E를 얻는다.

2. 방정식 cos²x − sin x = 1을 푸시오.

   먼저 공식을 이용해 cos² x를 1 − sin² x로 바꾼다. 방정식에 대입하면 다음을 얻는다.

   $$\begin{array}{rcl}1-{\sin }^{2}x-\sin x& =& 1\\ {\sin }^{2}x+\sin x& =& 0\end{array}$$

   이제 sin x로 묶는다.

   $$\sin x(\sin (x)+1)=0$$

   좌변이 곱의 꼴이고 우변이 0이므로 방정식 sin x = 0과 sin(x) + 1 = 0을 따로 푼다. 인수 가운데 적어도 하나가 0이면 좌변 전체가 0이 되기 때문이다.

   방정식 sin x = 0은 이미 여러 번 풀었다. 해는 K가 정수일 때 Kπ 꼴의 x이다.

   두 번째 방정식 sin(x) + 1 = 0은 방정식 sin(x) = −1로 바꾼다. 사인은 3/2π + 2Kπ에서 −1이다.

   결과 집합 R₂의 원소는 모두 합집합으로 얻는다.

   $$R_2=\{\frac{3}{2}\pi +2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}\cup \{K\pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

   그림은 다음과 같다.

   

   점 A, C, D, F의 x좌표는 π의 배수이므로 이 점들은 앞의 합집합에서 오른쪽 집합에 해당한다. 그리고 왼쪽 집합에서 K에 K = 0을 넣으면 점 E에 해당하는 x = 3π/2를 얻고, K = −1을 넣으면 점 B에 해당하는 x = 3π/2 − 2π = −π/2를 얻는다.

3. 방정식 cos² x − sin²x + cos x = 0을 푸시오.

   첫 단계에서는 공식 sin²x = 1 − cos²x를 적용해 사인의 제곱을 바꾼다.

   $$\begin{array}{r}{\cos }^{2}x-(1-{\cos }^{2}x)+\cos x=0\\ {\cos }^{2}x-1+{\cos }^{2}x+\cos x=0\end{array}$$

   다음 단계에서 동류항을 정리한다.

   $$2{\cos }^{2}x+\cos x-1=0$$

   마지막으로 a = cos x로 치환한다.

   $$2a^2+a-1=0$$

   이것은 간단한 이차방정식으로 푼다. 결과는 다음과 같다.

   $$a_1=-1,a_2=\frac{1}{2}$$

   마지막으로 치환을 되돌려 두 방정식 cos x = −1과 $\cos x=\frac{1}{2}$을 풀고 결과 집합의 합집합을 구한다. 이 과정은 간단하며 앞에서 이미 해 보았다.

4. 방정식 sin²x − cos²x = 1을 푸시오.

   먼저 늘 쓰는 공식을 적용해 코사인을 사인으로 나타낸다. 그러면 다음을 얻는다.

   $$2{\sin }^{2}x=2$$

   2로 나누고 1을 뺀다.

   $${\sin }^{2}x-1=0$$

   이제 공식 a² − b² = (a − b)(a + b)를 적용한다.

   $$(\sin (x)-1)\cdot (\sin (x)+1)=0$$

   두 식의 곱은 적어도 하나의 식이 0일 때 0이다. sin x = 1과 sin x = −1이 되는 곳은 이미 알고 있다. 삼각방정식의 해는 다음과 같다.

   $$R_4=\{\pi /2+2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}\cup \{3\pi /2+2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}=\{\pi /2+K\pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

   그림은 다음과 같다.