분모에 미지수가 있는 일차방정식

분수가 있고 분모에 변수가 있는 일차방정식은 보통의 일차방정식과 비슷하게 푼다. 첫 단계에서 방정식을 기본 꼴로 바꾸고, 그다음은 평소처럼 푼다.

분모에 x만 있을 때

가장 간단한 경우는 분모에 변수 x만 있는 방정식이다. 예를 들어 다음 방정식을 보자.

$$\frac{10}{x}=5$$

답이 x = 2라는 것은 분명하다. 그런데 형식적으로, 일반적으로는 어떻게 풀까? 분모에 있는 변수는 다루기 어려우므로 없애야 한다. 문제는 분모의 x를 어떻게 없애느냐이다.

다음과 같은 분수를 생각해 보자.

$$\frac{a}{b}$$

분수를 없애려면, 즉 몫이 아니라 곱의 꼴로 만들려면 분수에 무엇을 곱해야 할까? 3분의 1(즉 1/3)에 무엇을 곱해야 정수가 될까? 분수의 분모(또는 그 배수)를 곱하면 된다. 분수에 분모를 곱하면 다음 분수를 얻는다.

$$\frac{a\cdot b}{b}$$

여기서 원래 분모 b로 약분하면 값 a만 남는다. 3분의 1의 예로 돌아가 보자. 3분의 1에 3을 곱하면 무엇이 될까? 3분의 3, 즉 1이 된다. 6분의 1에 6을 곱하면? 6분의 6, 즉 1이다. 7분의 3에 7을 곱하면? 7분의 21(3 · 7 = 21), 즉 3이 된다.

그래서 방정식의 양변에 분모의 값인 변수 x를 곱한다. 그래도 될까? 된다. x는 실수이므로 0이 될 수도 있지만, x가 분수의 분모에 있고 0으로는 나눌 수 없으므로 이 방정식의 조건은 x ≠ 0이다. 따라서 이 변형은 동치 변형이다.

좋다, 그러면 양변에 미지수 x를 곱해 보자. 무엇이 나올까?

$$\begin{array}{rcl}\frac{10}{x}& =& 5\\ x\cdot \frac{10}{x}& =& x\cdot 5\\ \frac{10x}{x}& =& 5x\end{array}$$

이제 무엇을 할 수 있을까? 분수를 x로 약분할 수 있다. 분수 10x/x에서는 10만 남는다. 즉 10 = 5x이다. 이제 보통의 일차방정식처럼 풀 수 있다. 결과는 x = 2이다.

직관적으로도 이해가 될까? 그렇다. 다음 방정식을 생각해 보자.

$$\frac{x}{2}=10$$

이 일차방정식은 x의 절반이 10이라는 뜻이다. 그러면 x의 절반 두 개는 20이어야 한다. 그런데 x의 절반 두 개는 x 하나와 같다.

분모가 더 복잡한 식일 때

분모에는 x보다 복잡한 식이 있을 수 있다. 다음 방정식을 풀어 보자.

$$\frac{5}{x+2}=10$$

이 방정식은 어떻게 풀까? 분수를 어떻게 없앨까? 앞 절에서는 양변에 분모를 곱해서 분수를 없앴다. 이번에도 똑같이 한다. 양변에 식 x + 2를 곱하면 식 x + 2가 분자에 오므로 깔끔하게 약분할 수 있다. 곱해 보자.

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& 10/\cdot (x+2)\\ (x+2)\cdot \frac{5}{x+2}& =& (x+2)\cdot 10\\ \frac{(x+2)\cdot 5}{x+2}& =& 10\cdot (x+2)/\text{약분 }(x+2)\\ 5& =& 10\cdot (x+2)\end{array}$$

이제 분수가 없어졌으므로 괄호를 전개하고 답을 구하기만 하면 된다.

$$\begin{array}{rcl}-10x-15& =& 0\\ x& =& -\frac{3}{2}\end{array}$$

분수가 여러 개일 때

방정식에 분수가 여러 개 있고 분모에 식이 여러 개 있으면 훨씬 복잡해질 수 있다. 예를 보자.

$$\frac{5}{x+2}=\frac{4}{x+3}$$

이 방정식은 어떻게 풀까? 분모가 다른 분수가 두 개 있고, 두 분모 모두에 변수 x가 있다. 양변에 두 분모를 모두 곱하면 된다. 차례로 곱해도 되고 한꺼번에 곱해도 된다. 차례로 곱하면 다음과 같다. (x + 2)부터 곱한다.

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& \frac{4}{x+3}/\cdot (x+2)\\ \frac{5(x+2)}{x+2}& =& \frac{4(x+2)}{x+3}\\ 5& =& \frac{4(x+2)}{x+3}\end{array}$$

이제 양변에 두 번째 분모 (x + 3)을 곱한다.

$$\begin{array}{rcl}5& =& \frac{4(x+2)}{x+3}/\cdot (x+3)\\ 5(x+3)& =& \frac{4(x+2)(x+3)}{x+3}\\ 5(x+3)& =& 4(x+2)\end{array}$$

괄호를 전개하고 답을 구하기만 하면 된다.

$$\begin{array}{rcl}5x+15& =& 4x+8\\ x& =& -7\end{array}$$

두 번째 방법은 양변에 두 분모를 한꺼번에 곱하는 것이다. 즉 처음에 양변에 식 (x + 2)(x + 3)을 곱한다. 그러면 다음을 얻는다.

$$\begin{array}{rcl}\frac{5}{x+2}& =& \frac{4}{x+3}/\cdot (x+2)(x+3)\\ \frac{5(x+2)(x+3)}{x+2}& =& \frac{4(x+2)(x+3)}{x+3}\\ 5(x+3)& =& 4(x+2)\end{array}$$

이렇게 해도 되는 이유는 방정식에 식 a를 곱하고 다시 식 b를 곱하는 것이 식 a · b를 곱하는 것과 같기 때문이다.