곱과 몫 꼴의 부등식

여러 수의 곱은 0인 인수가 없고 음수인 인수가 짝수 개이면 양수이다. 음수 곱하기 음수는 양수이므로 음수인 인수는 둘씩 짝지어 상쇄된다. 음수인 인수가 홀수 개 남으면 곱 전체가 음수이다. 한쪽에 곱이나 몫이 있고 다른 쪽에 0이 있는 부등식은 모두 이 간단한 생각으로 푼다.

이차부등식 글을 읽었다면 부등식 (x − 1)(x + 3) > 0은 이미 풀 수 있다. 근 1과 −3을 찾고 식이 어디서 양수인지 보면 된다. 이제 같은 방법이 인수가 두 개일 때뿐 아니라 몇 개이든 통한다는 것을 보자.

0이 되는 점으로 구간 나누기

다음 부등식부터 시작하자.

$$(x+2)(x-1)(x-3)>0.$$

괄호를 전개하지는 않는다. 그러면 삼차다항식이 되어 훨씬 다루기 어렵다. 오히려 곱의 꼴이 가장 다루기 좋다.

먼저 0이 되는 점, 즉 어떤 인수가 0이 되는 수를 찾는다. 괄호마다 따로 0과 같다고 놓는다.

$$\begin{array}{rcl}x+2& =& 0\Rightarrow x=-2\\ x-1& =& 0\Rightarrow x=1\\ x-3& =& 0\Rightarrow x=3\end{array}$$

0이 되는 점들은 수직선을 네 구간 (−∞, −2), (−2, 1), (1, 3), (3, ∞)로 나눈다. 각 구간 안에서는 어떤 괄호도 0을 지나지 않으므로 부호가 바뀌지 않는다. 그래서 각 구간에서 수를 하나씩 골라 괄호들의 부호를 확인하면 된다.

• 구간 (−∞, −2)에서는 예를 들어 x = −3을 넣어 본다. 세 괄호가 모두 음수이다: (−1) · (−4) · (−6). 음수인 인수가 세 개, 즉 홀수 개이므로 곱은 음수이다.
• 구간 (−2, 1)에서는 0을 넣는다. 2 · (−1) · (−3)이다. 음수인 인수가 두 개이므로 곱은 양수이다.
• 구간 (1, 3)에서는 2를 쓴다. 4 · 1 · (−1)이다. 음수인 인수가 하나이므로 곱은 음수이다.
• 구간 (3, ∞)에서는 10을 넣어 본다. 모든 괄호가 양수이므로 곱도 양수이다.

부호표로 정리하면 한눈에 보인다. 각 줄에 괄호가 하나씩 있고, 아래에는 곱 전체가 있으며, 곱이 양수인 구간은 빨간색이다.

곱이 0보다 큰 곳을 찾는다. 0이 되는 점 자체는 해에 속하지 않는다. 그곳에서는 곱이 0이고 0은 0보다 크지 않기 때문이다. 해는 다음과 같다.

$$x\in (-2,1)\cup (3,\mathrm{\infty }).$$

검산: x = 4이면 6 · 3 · 1 = 18이고, 이것은 정말 양수이다.

함수 y = (x + 2)(x − 1)(x − 3)의 그래프에서도 같은 결과를 볼 수 있다. 그래프는 0이 되는 점에서만 x축과 만나고, 이웃한 두 점 사이에서는 전체가 축 위에 있거나 전체가 축 아래에 있다. 축 위에 있는 곳에서 곱이 양수이며, 그 부분은 빨간색이다.

부호가 번갈아 바뀌지 않을 수도 있다

앞의 예에서는 부호가 음, 양, 음, 양으로 규칙적으로 번갈아 바뀌었다. 그래서 한 구간에서만 부호를 확인하고 나머지는 자동으로 바꾸고 싶어진다. 그렇게 하지 않는 것이 좋다. 다음 부등식을 보자.

$$(x-1{)}^2(x+2)\ge 0.$$

0이 되는 점은 1과 −2이고 구간은 세 개이다. 수를 하나씩 넣어 본다.

• x = −3: (−4)² · (−1) = 16 · (−1) = −16, 음수
• x = 0: (−1)² · 2 = 2, 양수
• x = 2: 1² · 4 = 4, 양수

1을 지날 때 부호가 바뀌지 않았다. 제곱 때문이다. (x − 1)²은 제곱이므로 안에 무엇이 있든 언제나 양수이거나 0이다. 그래서 짝수 번 거듭제곱한 인수는 곱의 부호를 결코 바꾸지 않는다. 부호를 그냥 번갈아 바꾸었다면 마지막 구간이 음수로 나와서 해의 상당 부분을 잃었을 것이다.

따라서 식은 (−2, 1)과 (1, ∞)에서 양수이다. 그런데 부등식은 “크거나 같다”이므로 식이 0이 되는 점도 포함한다. 이런 점은 0이 되는 두 점 −2와 1이다. 그래서 1은 등호 덕분에 해에 속하고 두 구간이 하나로 합쳐진다.

$$x\in [-2,\mathrm{\infty }).$$

등호가 없는 부등식에 주의하자. (x − 1)²(x + 2) > 0이라면 1은 해에 속하지 않으므로 (−2, 1) ∪ (1, ∞), 즉 구멍이 뚫린 구간이 나온다.

몫 꼴

분수도 똑같이 다룬다. 몫의 부호는 곱의 부호와 같기 때문이다. 분자와 분모의 부호가 같으면 양수이다. 다음 부등식을 풀어 보자.

$$\frac{x+2}{x-4}\le 0.$$

0이 되는 점은 분자와 분모에서 찾는다. x = −2와 x = 4이다. 각 구간에서 수를 하나씩 넣는다.

• x = −3: $\frac{-1}{-7}$, 양수
• x = 0: $\frac{2}{-4}$, 음수
• x = 5: $\frac{7}{1}$, 양수

음수이거나 0인 값을 찾는다. 분수는 구간 (−2, 4)에서 음수이다. 분자가 0일 때, 즉 x = −2일 때 0이 되고, 이것은 해에 속한다. 그런데 4는 부등식에 어떤 부등호가 있든 절대 해에 속하지 않는다. x = 4이면 분모가 0이 되는데 0으로는 나눌 수 없다. 그래서 분모가 0이 되는 점은 언제나 뺀다.

그림에서는 동그라미로 구별한다. −2의 속이 찬 동그라미는 그 수가 해에 속한다는 뜻이고, 4의 빈 동그라미는 속하지 않는다는 뜻이다. 결과는 다음과 같다.

$$x\in [-2,4).$$

분모를 곱하지 말자

0이 되는 점을 이용하는 방법은 부등식의 한쪽이 0일 때만 통한다. 다음 부등식을 보자.

$$\frac{2x-1}{x+1}\ge 1.$$

분모 x + 1을 곱해서 2x − 1 ≥ x + 1을 얻고, 여기서 x ≥ 2를 얻고 싶어진다. 그런데 x + 1이 양수인지 음수인지 모르고, 음수를 곱하면 부등호의 방향이 바뀌어야 한다. 그래서 이것은 동치 변형이 아니었고 해의 일부가 사라졌다. 자세한 내용은 일차부등식 글에 있다.

올바르게 하려면 모든 것을 한쪽으로 옮긴다.

$$\frac{2x-1}{x+1}-1\ge 0$$

1을 분모가 같은 분수로 쓴다.

$$\frac{2x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x+1}\ge 0$$

그리고 분수를 뺀다.

$$\frac{x-2}{x+1}\ge 0$$

0이 되는 점은 2와 −1이다. x = −2이면 $\frac{-4}{-1}=4$로 양수이다. x = 0이면 $\frac{-2}{1}$로 음수이다. x = 3이면 $\frac{1}{4}$로 양수이다. 2는 해에 속하고(그곳에서 분수는 0이다), −1은 분모가 0이 되는 점이므로 속하지 않는다. 따라서 해 전체는 다음과 같다.

$$x\in (-\mathrm{\infty },-1)\cup [2,\mathrm{\infty }).$$

분모를 곱했을 때 정말 무언가를 잃었는지 원래 부등식에 x = −2를 넣어 확인해 보자. $\frac{-5}{-1}=5$이고 5는 1보다 크다. 맞다.