방정식이란 무엇인가

방정식은 수학의 가장 기본적인 개념 가운데 하나이며, 수학 전체를 움직이는 도구 가운데 하나이다.

들어가며

방정식에는 좌변, 등호, 우변이 있다. 아주 간단한 방정식은 다음과 같다.

$$x=2$$

좌변에는 변수 x, 그다음 등호, 우변에는 수 2가 있다. 이 방정식은 간단해서 변수 x의 값이 2라는 것을 알려 준다. 변수 x는 보통 구하려는 값을 나타낸다. 예를 들어 셔츠의 단추 개수나 직원의 월급일 수 있다.

하지만 이런 꼴의 방정식은 문제에 주어지는 것이라기보다 구하려는 답에 가깝다. 실제로는 더 복잡한 방정식을 다룬다. 예를 들어 직원 다섯 명이 모두 합쳐 얼마를 버는지 알 때, 직원 한 명이 얼마를 버는지 구하는 것이다(모두 같은 금액을 번다고 하자).

예를 들어 선생님 다섯 명이 한 달에 모두 1,500만 원을 번다고 하자. 선생님 한 명은 얼마를 벌까? 방정식은 다음과 같이 세운다. 선생님 한 명의 월급을 x라고 하면 다음 방정식을 얻는다.

$$5x=\mathrm{15,000,000}$$

이 방정식은 “선생님 다섯 명의 월급을 합하면 15,000,000이다”라는 문제를 수학으로 쓴 것이다. 목표는 선생님 한 명의 월급, 즉 x = ?의 값을 구하는 것이다. 조금 앞질러 등식의 성질을 이용해 양변을 5로 나누자. 선생님 다섯 명이 15,000,000을 받으면 한 명은 그 5분의 1을 받는다. 결과는 다음과 같다.

$$x=\mathrm{15,000,000}/5$$

나누면 다음과 같다.

$$x=\mathrm{3,000,000.}$$

방정식의 정의

방정식을 정의하려면 함수가 무엇인지 알아야 한다. 함수를 알면 방정식을 두 함수가 같다는 것을 나타낸 식으로 생각할 수 있다.

$$f(x)=g(x)$$

이것이 미지수가 하나인 방정식의 일반적인 꼴이다. 좌변에는 함수 f, 우변에는 함수 g가 있다. 목표는 방정식의 근, 즉 함수 f와 g의 값이 같아지는 x의 값을 찾는 것이다.

즉 다음을 만족하는 구체적인 x의 값을 찾는다. 이 값을 x₁이라고 하자.

$$f(x_1)=g(x_1)$$

방정식 2x = −4x + 6을 예로 보자. 그러면 f(x) = 2x, g(x) = −4x + 6이다. 함수 f의 값이 함수 g의 값과 같아지는 x를 찾는다. 등식의 성질을 이용해 방정식을 풀면 다음과 같다.

$$\begin{array}{rcl}2x& =& -4x+6\\ 2x+4x& =& -4x+4x+6\\ 6x& =& 6\\ x& =& 1\end{array}$$

방정식의 해는 x = 1이다. 이 값에서 두 함수는 같은 값을 가져야 한다. 함수 f에 1을 넣으면 다음을 얻는다.

$$f(1)=2\cdot 1=2$$

함수 f는 1에서 값 2를 갖는다. 함수 g는 어떨까? 1을 넣어 보자.

$$g(1)=-4\cdot 1+6=-4+6=2$$

다시 2가 나왔다. 따라서 1은 방정식의 근이다. 또 실수 범위에서 이 방정식의 유일한 근이다. 함수에 다른 값을 넣으면 서로 다른 결과가 나온다. 예를 들어 5를 넣으면 다음과 같다.

$$\begin{array}{rcl}f(5)& =& 2\cdot 5=10\\ g(5)& =& -4\cdot 5+6=-20+6=-14\end{array}$$

그래프의 의미

방정식의 해는 그래프에서 뜻이 분명하다. 방정식의 좌변과 우변에 있는 함수의 그래프를 그리면, 두 그래프가 만나는 곳이 곧 방정식의 해이다.

방정식 2x = −4x + 6으로 돌아가자. 좌변의 함수는 f(x) = 2x이고 우변의 함수는 g(x) = −4x + 6이다. 이 방정식의 근이 x = 1이라는 것을 알고 있다. 따라서 두 함수는 1에서 만나야 한다. 두 함수의 그래프는 다음과 같다.

두 직선은 한 점에서 만나고, 이 점의 좌표는 (1, 2)이다. 첫 번째 좌표는 x의 값, 즉 방정식의 근이다. 두 번째 좌표는 y의 값, 즉 두 함수에 1을 넣었을 때의 함숫값이다.

따라서 방정식의 해는 좌변과 우변의 함수가 만나는 모든 점이다. 방정식은 흔히 우변이 0, 즉 상수함수 g(x) = 0이 되도록 바꾼다. 그러면 좌변의 함수가 언제 x축과 만나는지 구하면 된다. 앞의 방정식 2x = −4x + 6을 우변이 0이 되도록 바꾸면 다음과 같다.

$$\begin{array}{rcl}2x& =& -4x+6\\ 6x& =& 6\\ 6x-6& =& 0\end{array}$$

좌변의 함수의 그래프를 그리면…

… 그래프가 x축과 1에서 만난다는 것을 알 수 있다. 우변이 0이 되도록 방정식을 바꾸어도 같은 결과, 즉 다시 1이 나온다.

방정식의 해의 개수

그래프의 의미를 생각하면 방정식이 서로 다른 해를 몇 개 가질 수 있는지 알 수 있다. 그래서 다음과 같은 질문에 쉽게 답할 수 있다. 모든 방정식에는 해가 있을까? 방정식의 해가 두 개 이상일 수 있을까? 해가 무수히 많을 수 있을까?

해가 없는 경우

차례로 보자. 해가 없는 방정식이 있을까? 이 질문은 결코 만나지 않는 두 함수의 그래프가 있느냐는 질문으로 바꿀 수 있다. 물론 있다. 그래프가 직선인 일차방정식에서는 평행한 두 직선을 생각하면 된다. 예를 들면 다음과 같다.

$$x+1=x+2$$

상식으로도 x + 1이 x + 2와 같을 수 없다는 것을 알 수 있다. 그래프를 그리면 다음과 같다.

두 함수는 평행한 직선이므로 결코 만나지 않는다. 따라서 두 함수로 만든 방정식은 해가 없다. 방정식을 다음과 같이 변형할 수 있다.

$$\begin{array}{rcl}x+1& =& x+2\\ x-x& =& 2-1\\ 0x& =& 1\\ 0& \ne & 1\end{array}$$

방정식에 정말 해가 없다는 것을 알 수 있다.

해가 없는 방정식은 이 밖에도 얼마든지 만들 수 있다. 예를 들어 방정식 x² = x − 1은 두 함수의 그래프가 결코 만나지 않는다.

해가 여러 개인 경우

방정식의 해가 두 개 이상일 수 있을까? (단, 무수히 많지는 않은 경우이다.) 이번에도 질문을 바꾸어 보자. 교점이 유한 개이면서 두 개 이상인 두 함수의 그래프가 있을까?

물론 있다. 앞 절의 마지막 예에서는 이차함수와 일차함수로 된 방정식을 보았다. 이 그래프에서 직선을 평행이동하여 이차함수의 그래프와 두 점에서 만나게 할 수 있다. y = x − 1 대신 함수 y = x를 생각하면 된다.

두 그래프는 두 점에서 만난다. 방정식은 다음과 같이 풀 수 있다.

$$\begin{array}{rcl}{x}^2& =& x\\ x^2-x& =& 0\\ x\cdot (x-1)& =& 0\\ x_1& =& 0\\ x_2& =& 1\end{array}$$

해가 무수히 많은 경우

해가 무수히 많은 방정식이 있을까? 즉 무수히 많은 점에서 만나는 두 그래프가 있을까? 그렇다, 있다. 주기함수를 하나 골라 적당한 직선과 만나게 하면 된다. 대표적인 주기함수는 사인이다. 사인의 치역은 구간 [−1, 1]이고, 이 범위에서 주기적으로 되풀이된다.

따라서 a가 치역에 속할 때 sin(x) = a로 놓으면 된다. 구체적인 예로 sin(x) = 0.5를 들 수 있다. 두 함수의 그래프는 다음과 같다.

그림에서 직선이 사인 곡선과 여러 점에서 만나는 것을 볼 수 있다. 사인 곡선은 오른쪽으로도 왼쪽으로도 계속 물결치므로 직선은 양쪽에서 사인 곡선과 무수히 많은 점에서 만난다.

양변의 함수가 같은 방정식

함수의 정의역에서 x에 어떤 값을 넣어도 방정식이 성립하는 경우가 있을까? 두 함수가 같거나, 한 함수를 다른 함수로 바꿀 수 있을 때만 그렇다. 예를 보자.

$$2x+4=2\cdot (x+2)$$

언뜻 보면 양변의 함수가 다르지만, 우변의 괄호를 전개하면 같은 함수가 된다.

$$2x+4=2x+4$$

이런 방정식의 해는 함수의 정의역 전체, 즉 실수 전체이다. 이런 방정식은 0 = 0 꼴로 바꿀 수 있다(항등식).

$$\begin{array}{rcl}2x+4& =& 2x+4/-2x\\ 4& =& 4/-4\\ 0& =& 0\end{array}$$