이차부등식

이차부등식은 일반적으로 ax² + bx + c > 0 또는 ax² + bx + c < 0 꼴로 쓸 수 있다. 여기서 a, b, c는 임의의 실수이고 a ≠ 0이다. 물론 “크다”와 “작다” 대신 “크거나 같다”와 “작거나 같다”를 쓸 수도 있다.

계수 a가 양수일 때

이런 부등식은 보통의 이차방정식과 비슷하게 푼다. 먼저 판별식을 구하고, 그 결과에 따라 다음 방법을 정한다. 판별식이 양수이면 대응하는 방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다. 방정식의 근은 함수 ax² + bx + c의 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표이다. 이 두 교점이 x축을 세 구간으로 나눈다.

부등식 2x² − 7x + 3 < 0을 풀어 보자. 함수 2x² − 7x + 3의 그래프를 그리면 다음과 같다.

그래프는 x축과 두 점 $x_1=\frac{1}{2}$과 x₂ = 3에서 만난다. 보통의 이차방정식을 풀어도 같은 해를 얻는다. 이 방정식의 판별식은 다음과 같기 때문이다.

$$D=b^2-4ac=(-7{)}^2-4\cdot 2\cdot 3=49-24=25$$

근은 다음과 같이 구한다.

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{7-5}{4}=\frac{1}{2}\\ x_2& =& \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{7+5}{4}=3\end{array}$$

이 두 근이 함수 2x² − 7x + 3의 그래프를 세 구간으로 나눈다.

• $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{2})$: 이 구간에서는 함숫값이 양수이다(그래프의 파란 부분, x축 “위”).
• $(\frac{1}{2},3)$: 이 구간에서는 함숫값이 음수이다(그래프의 빨간 부분, x축 “아래”).
• (3, ∞): 이 구간에서는 다시 함숫값이 양수이다. 나머지 파란 부분이다.

구간에 둥근 괄호, 즉 열린구간을 쓴다는 점에 주목하자. 즉 3도 $\frac{1}{2}$도 구간 $(\frac{1}{2},3)$에 속하지 않는다. x = 3에서 함숫값은 0인데, 구하려는 것은 함숫값이 0보다 작은 구간이기 때문이다.

이제 부등식 2x² − 7x + 3 < 0의 답을 구하는 데 필요한 것을 모두 알았다. 함수 2x² − 7x + 3의 값은 언제 0보다 작을까? 그래프의 빨간 부분, 즉 구간 $(\frac{1}{2},3)$이다.

다음 부등식도 풀어 보자.

• 2x² − 7x + 3 ≤ 0: 이 부등식은 앞의 부등식과 달리 < 대신 ≤가 있다. 결과는 앞의 경우와 같은데, 열린구간 대신 닫힌구간을 쓴다. 그래서 결과는 구간 $[\frac{1}{2},3]$이다. $\frac{1}{2}$과 3에서 함수 2x² − 7x + 3의 값은 0이고, 지금은 이 함수가 0보다 작거나 같은 곳을 찾기 때문이다. 부등식에 ≤가 있다는 것을 잊지 말자.

• 2x² − 7x +3 > 0: 결과는 그래프의 “파란 부분”이다. 함수는 구간 $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{2})$에서도, 구간 (3, ∞)에서도 양수이므로 두 구간의 합집합을 구해야 한다. 결과 집합은 $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{2})\cup (3,\mathrm{\infty })$이다.

• 2x² − 7x +3 ≥ 0: 이번에도 >를 ≥로 바꾸었을 뿐이다. 결과는 같은 집합인데, 원소 $\frac{1}{2}$과 3을 포함하도록 그 끝점을 닫힌 괄호로 쓴다. $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{2}]\cup [3,\mathrm{\infty })$이다.

계수 a가 음수일 때

앞의 부등식을 −x² + x + 2 < 0으로 바꾸면 어떻게 될까? 가장 크게 바뀐 것은 계수 a로, 이제 a = −1이다. 앞의 부등식에서는 2x², 즉 x² 앞의 계수가 양수였는데 여기서는 음수이다. 그래프를 보는 것이 가장 좋다.

그래프가 가장 크게 달라진 점은 이제 “U” 모양이 아니라 언덕 모양이라는 것이다. 하지만 방법은 그대로이다. 이번에도 세 구간이 생긴다.

• (−∞, −1): 함숫값이 음수이다.
• (−1, 2): 함숫값이 양수이다.
• (2, ∞): 함숫값이 음수이다.

따라서 부등식 −x² + x + 2 < 0의 해는 구간들의 합집합 (−∞, −1) ∪ (2, ∞)이다.

그래프를 매번 그리기 싫다면?

그럴 필요 없다! 앞의 풀이는 모두 그래프를 그려서 x축과의 교점을 읽고, 이어서 각 구간에서 함숫값이 양수인지 음수인지 읽는 방법이었다. 하지만 다른 방법도 있다.

이차부등식 3x² − 4x + 1 < 0이 있으면 보통의 방법으로 이차방정식 3x² − 4x + 1 = 0만 풀면 된다. 판별식을 구한다.

$$D=b^2-4ac=(-4{)}^2-4\cdot 3\cdot 1=4$$

이어서 이차방정식의 근을 구한다.

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{4-2}{6}=\frac{1}{3}\\ x_2& =& \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{4+2}{6}=1\end{array}$$

그래프가 x축과 $x_1=\frac{1}{3}$, x₂ = 1에서 만난다는 것을 알았다. 세 구간 $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{3})$, $(\frac{1}{3},1)$, (1,∞)가 생긴다. 이제 각 구간에서 함수 f(x) = 3x² − 4x + 1의 값이 양수인지 음수인지 알아내야 한다.

그 구간의 아무 수나 함수 f(x) = 3x² − 4x + 1에 넣어 보면 된다. 결과가 양수이면 그 구간 전체에서 함수는 양수이다. 음수일 때도 마찬가지이다.

• 구간 $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{3})$에서 아무 수나 고른다. 예를 들어 계산하기 쉬운 0을 고른다. 함수 f에 0을 넣으면 f(0) = 3 · 0² − 4 · 0 + 1 = 1이다. 1은 양수이므로 이 구간에서 함숫값은 양수이다.

• 구간 $(\frac{1}{3},1)$에서 수를 고른다. 2분의 1이 가장 좋을 것이다.

  $$f(\frac{1}{2})=3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2-4\cdot \frac{1}{2}+1=3\cdot \frac{1}{4}-2+1=-\frac{1}{4}$$

  $-\frac{1}{4}$은 음수이므로 이 구간에서 함숫값은 모두 음수이다.

• 마지막 구간의 값은 첫 번째 구간과 같이 양수이다. 부호는 언제나 양수 – 음수 – 양수 또는 음수 – 양수 – 음수로 바뀐다. 물론 직접 계산해 볼 수도 있다. 구간 (1,∞)에서 예를 들어 10을 고른다.

  $$f(10)=3\cdot {10}^2-4\cdot 10+1=300-40+1=261$$

  양수이므로 이 구간의 함숫값은 모두 양수이다.

이제 부등식 전체를 마무리하자. 부등식은 3x² − 4x + 1 < 0이었다. 앞에서 얻은 정보에 따르면 함수 3x² − 4x + 1은 구간 $(\frac{1}{3},1)$에서 음수이다. 확인을 위해 그래프를 보자.

판별식이 0일 때

이차방정식을 풀 때 판별식이 0이 나올 수 있다. 함수의 그래프가 x축과 한 점에서 접할 때이다. 부등식 3x² + 6x + 3 ≥ 0을 예로 들어 보자. 판별식은 0이다.

$$D=b^2-4ac=6^2-4\cdot 3\cdot 3=36-36=0$$

그래프는 다음과 같다.

그래프는 x축과 한 점 x₁ = −1에서 접하고, 나머지는 x축 위, 즉 양수인 부분에 있다. 따라서 부등식 3x² + 6x + 3 ≥ 0의 해는 실수 전체의 집합이다. x에 어떤 실수를 넣어도 값은 언제나 0보다 크거나 같기 때문이다.

판별식이 음수일 때

판별식이 음수이면 그래프는 x축과 결코 만나지 않는다. 부등식에서는 이것이 어떻게 나타날까? 그래프 전체가 x축 위에 있거나 전체가 x축 아래에 있다. 앞의 부등식을 3x² + 6x + 4 > 0으로 바꾸면(≥를 >로 바꾸고 3을 4로 바꾸었다) 판별식은 다음과 같다.

$$D=6^2-4\cdot 3\cdot 4=-12$$

그래프는 다음과 같다.

그래프 전체가 x축 위에 있으므로 x에 어떤 실수를 넣어도 값은 언제나 양수이다. 따라서 이 부등식의 해도 실수 전체의 집합이다.