복이차방정식

복이차방정식의 예로 방정식 3x⁴ + 7x² + 5 = 0이 있다. 일반적으로 등식의 성질을 이용해 다음 꼴로 바꿀 수 있는 방정식을 복이차방정식이라고 한다.

$$a{x}^4+b{x}^2+c=0$$

여기서 a, b, c는 실수이고 계수 a는 0이 아니다. 이 방정식은 이차방정식과 비슷한데, 지수가 두 배일 뿐이다. 이런 방정식은 어떻게 풀까? 작은 꾀를 써서 이차방정식으로 바꾼다. 그 꾀를 치환이라고 한다. t = x²이라고 놓고, 원래 방정식에서 x²이 있던 곳에 모두 t를 쓰는 것이다. 예로 다음 복이차방정식을 보자.

$$x^4-2x^2-15=0$$

x²을 모두 t로 바꾼다. 이때 x⁴은 사실 x² · x²이므로 x⁴ = t²이라는 점을 잊지 말자.

$$t^2-2t-15=0$$

이제 왜 이렇게 치환했는지 알 수 있다. 보통의 이차방정식이 되었기 때문이다. 이 방정식은 예를 들어 판별식을 구하거나 완전제곱식을 이용해 풀 수 있다. 판별식은 다음과 같다.

$$D=b^2-4ac=(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-15)=64$$

따라서 방정식의 근은 다음과 같다.

$$t_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{2\pm \sqrt{64}}{2}=\frac{2\pm 8}{2}$$

방정식의 근은 두 개이다.

$$t_1=5,t_2=-3$$

이제 이차방정식 t² − 2t − 15 = 0의 해를 알았다. 남은 것은 원래 복이차방정식의 해를 구하는 것이다. t가 5나 −3이면 방정식이 성립한다는 것을 알았다. 하지만 구하려는 것은 t가 아니라 x에 대한 해이다. t = x²으로 치환했으므로 다음 방정식들을 풀면 원래 방정식의 x에 대한 해를 얻는다.

$$x^2=5\text{와}{x}^2=-3$$

첫 번째 방정식은 간단하다. x² = 5이면 다음과 같다.

$$x_1=\sqrt{5},x_2=-\sqrt{5}$$

두 번째 방정식은 조금 복잡하다. x² = −3은 실수 범위에서 해가 없고, 복소수 범위에서 해를 찾아야 한다. 실수 범위의 해만 구한다면, 원래 복이차방정식은 두 실근 $x_1=\sqrt{5}$와 $x_2=-\sqrt{5}$를 갖는다고 할 수 있다.