지수부등식과 로그부등식

지수부등식은 지수방정식에서 등호 대신 부등호가 있는 것이다. 예를 들어 다음과 같다.

$$2^x>8$$

풀이는 방정식과 똑같이 시작한다. 8을 2의 거듭제곱으로 쓴다.

$$2^x>2^3$$

방정식 2^x = 2³이라면 이제 지수를 비교해서 x = 3을 얻을 것이다. 왜 그래도 될까? 함수 2^x은 증가함수이다. 지수가 클수록 거듭제곱도 크다. 그래서 같은 값을 두 번 갖지 않고, 2의 거듭제곱 두 개는 지수가 같을 때만 같다. 부등식에서도 같은 생각을 쓸 수 있는데, 어느 방향인지만 더 정하면 된다. 2의 어떤 거듭제곱이 2의 세제곱보다 큰 것은 그 지수가 3보다 클 때이고, 그때뿐이다.

$$x>3$$

해는 구간 (3, ∞)이다. 확인해 보면 2⁴ = 16은 8보다 크지만 2² = 4는 그렇지 않다. 그림에서는 빨간 그래프가 초록 직선보다 위에 있는 x축의 부분이다.

밑이 1보다 작은 부등식, 예를 들어 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>8$은 결과가 다르다. 함수 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x$은 감소함수이다. 지수가 클수록 2분의 1을 더 많이 곱하므로 더 작은 수가 나온다. 그림에서는 파란색이다.

그래프가 직선 y = 8보다 위로 올라가는 것은 −3의 왼쪽뿐이므로 부등식 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>8$의 해는 x < −3이다. 부등호의 방향이 바뀌었다. 지수부등식의 비결은 모두 다음 규칙에 있다.

• 밑이 1보다 클 때: 함수는 증가하고 부등호의 방향은 그대로이다.
• 밑이 0과 1 사이일 때: 함수는 감소하고 부등호의 방향이 바뀐다.

밑이 1보다 작을 때

다음 부등식을 풀어 보자.

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge 9.$$

9를 3분의 1의 거듭제곱으로 써야 한다. 3분의 1의 −1제곱은 3이고 −2제곱은 9이다.

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge {\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}$$

밑이 같지만 밑 $\frac{1}{3}$은 1보다 작다. 따라서 지수를 비교하면서 부등호의 방향을 바꾼다.

$$x\le -2$$

해는 구간 (−∞, −2]이다. x = −3으로 확인해 보자. ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}=3^3=27$이고, 이것은 정말 9보다 크다.

이런 문제에서 가장 흔한 실수는 부등호의 방향을 바꾸지 않는 것이다. x ≥ −2라고 쓰면 예를 들어 0도 해가 될 것이다. 그런데 ${\left(\frac{1}{3}\right)}^0=1$이고 1은 9보다 작다.

밑이 분수인 것이 불편하다면 $\frac{1}{3}$을 3⁻¹로 바꿔 써도 된다. 그러면 부등식은 3^−x ≥ 3², 즉 −x ≥ 2가 된다. 이번에는 밑이 1보다 크므로 부등호의 방향은 그대로이지만, 부등식의 성질에 따라 −1로 나눌 때 방향이 바뀐다. 결과는 역시 x ≤ −2이다. 어느 쪽으로 풀든 부등호의 방향은 바뀐다.

밑을 같게 만들 수 없을 때

부등식 3^x < 5에서는 5를 정수 지수를 갖는 3의 거듭제곱으로 쓸 수 없다. 방정식에서처럼 양변에 로그를 취하면 되는데, 이번에는 밑이 3인 로그를 취한다. 이 로그는 증가하므로 부등호의 방향은 바뀌지 않는다. log₃ 3^x < log₃ 5, 즉 x < log₃ 5이다. 결과는 이대로 두면 된다. 이 수의 대략적인 위치는 부등식 3 < 5 < 9로 알 수 있다. 따라서 log₃ 5는 log₃ 3 = 1과 log₃ 9 = 2 사이에 있다.

로그부등식

로그부등식에서도 밑에 대한 같은 규칙이 성립하고, 로그방정식에서 본 조건이 하나 더 붙는다. 로그의 진수는 양수여야 한다. 다음 부등식으로 해 보자.

$${\log }_2(x-1)<3.$$

먼저 조건을 구한다. x − 1>0, 즉 x>1이다. 다음으로 2³ = 8이므로 3을 밑이 2인 로그로 쓴다.

$${\log }_2(x-1)<{\log }_{2}8$$

밑 2는 1보다 크므로 로그는 증가하고 부등호의 방향은 그대로이다.

$$\begin{array}{rcl}x-1& <& 8/+1\\ x& <& 9\end{array}$$

마지막으로 결과를 조건과 합친다. x>1이고 동시에 x<9여야 하므로 해는 구간 (1, 9)이다. 확인을 위해 x = 5를 넣으면 log₂ 4 = 2이고, 이것은 정말 3보다 작다.

그림에서 해를 볼 수 있다. 1부터 9까지의 모든 x에서 빨간 그래프가 초록 직선보다 아래에 있다. 1의 왼쪽에는 로그가 존재하지 않으므로 그래프가 아예 없다. 이것이 조건 x>1이다.

로그부등식에서 흔한 실수는 지수부등식과 다르다. 조건을 잊으면 결과를 x<9라고 쓴다. 그런데 여기에는 0도 들어가고, log₂(0 − 1) = log₂(−1)은 존재하지 않는다. 방정식이라면 검산으로 잊은 조건을 찾을 수 있지만, 부등식의 해는 수가 무수히 많아서 모두 대입해 볼 수 없다. 그래서 조건은 언제나 처음에 바로 적는다.

마지막 예제에서는 두 함정이 함께 나온다.

$${\log }_{\frac{1}{2}}x>2$$

조건은 x>0이다. ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$이므로 2를 밑이 2분의 1인 로그로 쓴다.

$${\log }_{\frac{1}{2}}x>{\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}$$

밑이 1보다 작으므로 이번에도 부등호의 방향이 바뀐다.

$$x<\frac{1}{4}$$

조건 x>0과 합치면 해는 $(0,\frac{1}{4})$이다. 예를 들어 $x=\frac{1}{8}$로 확인해 보자. 2분의 1의 세제곱은 8분의 1이므로 ${\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{8}=3$이고, 이것은 정말 2보다 크다.