Как да изчислим лихвите по ипотека

Обикновената ипотека е заем, който взимаме, когато искаме да купим недвижим имот – обикновено къща или апартамент. Нека видим по какъв начин се изчисляват лихвите, които ще трябва да платиш по ипотеката.

Годишна лихва и месечно олихвяване

Всяка ипотека има определен годишен лихвен процент, който се задава в проценти. Така можеш да видиш реклама за ипотека с лихва 3% годишно (понякога се пише и „p. a.“ от латинското „per annum“, т.е. „годишно“). Опростено и неточно казано, ако заемеш 200 000 евро, за една година ще платиш 3% лихва, което е 6000 евро.

В действителност обаче няма да платиш точно шест хиляди, ще платиш по-малко. Обикновената ипотека изплащаш всеки месец и също толкова често банката ти начислява лихва. Вместо да ти изчисли една годишна лихва, банката ти изчислява дванадесет месечни лихви. А тъй като ти постепенно изплащаш ипотеката, дължиш на банката все по-малко и по-малко пари и затова и размерът на лихвата става все по-нисък и по-нисък. Нека го покажем на пример. Заемаш 200 000 евро с 3% годишна лихва и вноска 1000 евро месечно. Каква ще бъде първата лихва?

Първа вноска

Първо ще пресметнем месечния лихвен процент. Той се изчислява, като разделим годишния на дванадесет:

$$\frac{3\mathrm{\%}}{12}=0,25\mathrm{\%}$$

Месечният лихвен процент е следователно 0,25%. За първия месец ще платим на банката 0,25% от това, което все още дължим на банката, т.е. от двеста хиляди евро. 0,25% изчисляваме като

$$200000\cdot 0,25\mathrm{\%}=200000\cdot \mathrm{0,002}5=500$$

За първия месец ще платим на банката 500 евро лихва. Тъй като месечната ни вноска е 1000 евро, след първия месец дължим на банката

$$200000+500-1000=199500$$

199 500 евро. Първата ни вноска следователно се състои от 500 евро, които отиват за лихва, и 500, с които сме погасили част от дълга си към банката. На тези 500 евро казваме погасяване.

Втора вноска

Как би изглеждало през втория месец? Месечният лихвен процент не се променя, той все така е 0,25%. Променя се обаче сумата, която дължим на банката по ипотеката. Тази сума наричаме главница и след първия месец тя е 199 500 евро. Новата месечна лихва изчисляваме съвсем както първия месец, само че вместо с двеста хиляди ще смятаме със 199 500 евро, т.е. изчисляваме 0,25% от 199 500 евро:

$$199500\cdot 0,25\mathrm{\%}=199500\cdot \mathrm{0,002}5=498,75$$

През втория месец лихвата е следователно само 498,75 евро вместо 500 евро – защото вече сме погасили част от дълга и имаме по-малка главница. Погасяването ще бъде равно на

$$1000-498,75=501,25$$

През втория месец сме погасили от ипотеката повече, отколкото през първия, и общо дължим вече само

$$199500-501,25=198998,75$$

Следващи вноски…

Следващите вноски се пресмятат все по същия начин, докато стигнем до нула. През третия месец лихвата бихме пресметнали като

$$198998,75\cdot 0,25\mathrm{\%}=198998,75\cdot \mathrm{0,002}5=497,50$$

Виждаме, че лихвата 497,50 евро е отново малко по-малка от предишния месец, а погасяването 502,50 е отново малко по-голямо. Всеки следващ месец лихвата ще е все по-малка, защото дължим на банката все по-малко пари. А погасяването ще е все по-голямо – с течение на времето изплащаме ипотеката все по-бързо, защото плащаме по-малко пари за лихви и повече пари отиват за погасяване на главницата.

Можем да забележим, че макар годишната лихва да е 3%, няма да платим 6000 евро лихва. За да платим 6000 евро лихва, би трябвало да плащаме 500 евро лихва всеки месец. Ние обаче плащаме всеки месец все по-малко и по-малко и в крайна сметка ще платим по-малко от 6000 евро лихва.

Фактически това е всичко, което трябва да знаеш за това как се изчисляват лихвите по ипотека. Нека обаче погледнем още някои интересни неща.

Точно изчисляване на месечната лихва

В началото казахме, че месечната лихва изчисляваме като

$$\frac{3\mathrm{\%}}{12}=0,25\mathrm{\%}$$

Това е изчислението, което банките използват, но математически не е правилно. Банките го използват по-скоро по историческа причина, защото делението на дванадесет е просто по-лесно от математически правилния начин. Какво всъщност искаме да постигнем, когато пресмятаме месечната лихва? Годишната лихва 3% от двеста хиляди евро ни казва, че за една година клиентът би платил 6000 евро лихва. Нека си представим, че клиентът цяла година не изплаща ипотеката и само му се начисляват лихви. Какъв месечен лихвен процент трябва да имаме, за да съберем след дванадесет месеца точно 6000 евро лихва? Ако използваме нашата формула „разделено на дванадесет“, получаваме всъщност повече от 6000 евро. Нека го пресметнем:

Първо ще покажем как просто да прибавяме лихвите към главницата. Ако месечният лихвен процент е пресметнат като 0,25%, получената сума след прибавяне на лихвите получаваме, като умножим главницата по числото 1,0025:

$$200000\cdot \mathrm{1,002}5=200500$$

След два месеца без вноски главницата ще бъде равна на

$$200000\cdot \mathrm{1,002}5\cdot \mathrm{1,002}5=201001,25$$

Т.е. двеста хиляди умножаваме по числото 1,0025 толкова пъти, колкото пъти искаме да начислим лихва. За да си го опростим, можем да използваме степени, защото знаем, че

$$\mathrm{1,002}5\cdot \mathrm{1,002}5=\mathrm{1,002}{5}^2$$

така че можем да запишем

$$200000\cdot \mathrm{1,002}{5}^2=201001,25$$

Искаме да знаем колко голяма би била сумата след 12 месеца:

$$200000\cdot \mathrm{1,002}{5}^{12}=206083,19$$

Виждаме, че след 12 месеца главницата би била равна на 206 083,19 евро, което е с 83,19 евро повече, отколкото би трябвало да е. Е… не е кой знае каква разлика, нека си признаем, но все пак това не е правилният резултат. Как да го поправим?

Нека се върнем още веднъж към годишния лихвен процент на нашата ипотека. Ако искаме да разберем колко голяма би била главницата, когато върху нея приложим годишна лихва три процента, можем да го запишем така:

$$200000\cdot 1,03=206000$$

Сега искаме числото 1,03 да разложим на произведение от дванадесет еднакви числа, с което ще получим единица плюс месечния лихвен процент. Т.е. произведението на кои дванадесет еднакви числа ни дава резултат 1,03? Това е дванадесетият корен от 1,03:

$$1,03=\sqrt[12]{1,03}\cdot \sqrt[12]{1,03}\cdot \dots \cdot \sqrt[12]{1,03}$$

Можем да пресметнем, че дванадесетият корен от 1,03 е 1,0024662 и още малко, което наистина не е голяма разлика спрямо числото 1,0025, което получихме с нашия метод с деление на дванадесет. Но това е правилният резултат: ако месечният ни лихвен процент беше равен на $\sqrt[12]{1,03}-1$, главницата след година без вноски щеше да се увеличи точно с три процента.

Дневна и месечна лихва

Интересно е, че някои банки изчисляват месечната лихва по ипотеките малко по-различно. Изчислението на месечната лихва чрез деление на годишния лихвен процент на дванадесет има още един страничен ефект: за всички месеци получаваме един и същ лихвен процент, макар месеците да са с различна дължина. Февруари и юли получават един и същ процент. Как да се реши това? Някои банки го решават, като разделят годишния лихвен процент на 360, с което получават дневен лихвен процент, и след това умножават този дневен процент по броя на дните в месеца.

Защо делят на 360, а не на 365 или 366? Защото пак е по-лесно за пресмятане.