Aturan sinus dan aturan kosinus

Berbeda dengan perbandingan trigonometri biasa, aturan sinus berlaku pada segitiga sembarang. Aturan ini menyatakan hubungan antara panjang sisi dan besar sudut. Aturan kosinus juga berlaku pada segitiga sembarang, dan kasus khususnya adalah teorema Pythagoras.

Aturan sinus

Aturan sinus menyatakan bahwa pada suatu segitiga sembarang (!), perbandingan panjang setiap sisi dengan sinus sudut di hadapannya selalu tetap. Ditulis seperti ini:

$$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2r,$$

dengan r jari-jari lingkaran luar segitiga, serta a, b, dan c panjang sisi-sisi segitiga. Kesamaan ini dapat juga ditulis dalam bentuk:

$$\frac{a}{b}=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta },\frac{b}{c}=\frac{\sin \beta }{\sin \gamma },\frac{c}{a}=\frac{\sin \gamma }{\sin \alpha }$$

Aturan kosinus

Seperti aturan sinus, aturan kosinus juga berlaku pada segitiga sembarang. Aturan kosinus berbunyi:

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha \\ b^2& =& c^2+a^2-2ca\cdot \cos \beta \\ c^2& =& a^2+b^2-2ab\cdot \cos \gamma \end{array}$$

Perhatikan bahwa jika salah satu sudutnya siku-siku, yaitu berukuran 90 derajat, bagian terakhir salah satu rumus akan hilang, dan kita memperoleh bentuk teorema Pythagoras. Sebab, jika α = 90°, maka cos(α) = 0, sehingga diperoleh:

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha \\ a^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot 0\\ a^2& =& b^2+c^2\end{array}$$

Motivasi

Diberikan segitiga ABC dengan sisi c yang panjangnya |c| = 9. Besar sudut-sudutnya adalah α = 40°, β = 80°, γ = 60°. Berapakah panjang kedua sisi lainnya? Di sini kita tidak dapat lagi memakai perbandingan trigonometri biasa, karena perbandingan itu berlaku pada segitiga siku-siku, sedangkan segitiga ini jelas bukan segitiga siku-siku. Gambarnya:

Jadi, kita harus memakai cara lain. Salah satunya adalah aturan sinus. Bagaimana cara memakainya? Aturan sinus menyatakan bahwa:

$$\frac{|a|}{\sin \alpha }=\frac{|b|}{\sin \beta }=\frac{|c|}{\sin \gamma }$$

Dari besaran-besaran ini, kita sudah mengetahui semua sudut dan panjang sisi c. Jadi, sisi b dapat dihitung dari kesamaan

$$\frac{|b|}{\sin \beta }=\frac{|c|}{\sin \gamma }$$

Di sini kita harus menyatakan panjang sisi b. Kita lakukan operasi ekuivalen pada persamaan, yaitu mengalikan kedua ruas dengan sinus sudut beta. Diperoleh:

$$|b|=\frac{|c|\cdot \sin \beta }{\sin \gamma }$$

Semua bentuk di ruas kanan sudah diketahui atau dapat dihitung. Jadi, kita substitusikan:

$$|b|=\frac{9\cdot \mathrm{0,985}}{\mathrm{0,866}}=10,23.$$

Dengan cara yang sama kita hitung sisi lainnya, yaitu a:

$$\frac{|a|}{\sin \alpha }=\frac{|c|}{\sin \gamma }$$

Kita nyatakan |a| dengan mengalikan kedua ruas dengan sinus sudut alfa.

$$|a|=\frac{|c|\cdot \sin \alpha }{\sin \gamma }$$

Hitung hasilnya:

$$|a|=\frac{9\cdot \mathrm{0,642}}{\mathrm{0,866}}=\mathrm{6,672}$$

Penurunan aturan sinus

Mengapa kesamaan dalam aturan sinus berlaku? Perhatikan segitiga ABC biasa, lalu gambarlah garis tinggi ke sisi c.

Pertanyaannya, berapa panjang ruas garis CP_c? Garis tinggi membagi segitiga ABC menjadi dua segitiga siku-siku, dan dengan keduanya kita dapat menyatakan panjang garis tinggi. Jadi, kita coba menyatakan panjang ruas garis CP_c dengan kedua segitiga itu. Sinus sudut alfa sama dengan:

$$\sin (\alpha )=\frac{|C{P}_c|}{|AC|}$$

Dari sini kita nyatakan |CP_c|:

$$|C{P}_c|=\sin (\alpha )\cdot |AC|=\sin (\alpha )\cdot |b|.$$

Sekarang kita nyatakan panjang ruas garis CP_c dengan segitiga kedua, yaitu dengan sudut beta:

$$\sin (\beta )=\frac{|C{P}_c|}{|BC|}$$

Dari sini kita kembali menyatakan |CP_c|:

$$|C{P}_c|=\sin (\beta )\cdot |BC|=\sin (\beta )\cdot |a|$$

Sekarang panjang garis tinggi sudah dinyatakan dengan dua rumus:

$$|C{P}_c|=\sin (\alpha )\cdot |b|=\sin (\beta )\cdot |a|,$$

sehingga diperoleh kesamaan

$$\sin (\alpha )\cdot |b|=\sin (\beta )\cdot |a|.$$

Dari sini sudah dekat ke bunyi aturan sinus. Kedua ruas persamaan kita bagi dengan hasil kali sinus alfa dan sinus beta:

$$\begin{array}{rcl}\sin (\alpha )\cdot |b|& =& \sin (\beta )\cdot |a|/:\sin (\alpha )\cdot \sin (\beta )\\ \frac{\sin (\alpha )\cdot |b|}{\sin (\alpha )\cdot \sin (\beta )}& =& \frac{\sin (\beta )\cdot |a|}{\sin (\alpha )\cdot \sin (\beta )}/\text{coret sinus}\\ \frac{|b|}{\sin (\beta )}& =& \frac{|a|}{\sin (\alpha )}\end{array}$$

Dengan langkah-langkah di atas kita membuktikan sebagian aturan sinus. Bukti untuk kombinasi sisi lainnya sama persis.