Persamaan kuadrat dengan parameter

Persamaan kuadrat dengan parameter berbeda dari persamaan kuadrat biasa karena memuat parameter tambahan, yang sering dilambangkan dengan p atau m. Tugas kita adalah menentukan penyelesaian persamaan kuadrat itu berdasarkan nilai parameter p.

Contoh pertama

Diberikan persamaan kuadrat dengan parameter p berikut.

$$x^2+2px+9=0.$$

Penyelesaian apa saja yang mungkin dimiliki persamaan ini, bergantung pada parameter p? Ada tiga kasus: persamaan tidak mempunyai penyelesaian dalam himpunan bilangan real, persamaan mempunyai dua penyelesaian yang sama, atau persamaan mempunyai dua penyelesaian berbeda. Ketiga kasus ini kita bedakan dengan diskriminan.

Parameter diperlakukan seperti konstanta. Jadi, untuk persamaan kuadrat di atas, a = 1, b = 2p, dan c = 9. Sekarang kita hitung diskriminannya seperti biasa:

$$D=b^2-4ac=4p^2-4\cdot 1\cdot 9=4p^2-36.$$

Jadi, diskriminannya adalah D = 4p² − 36. Sekarang kita harus menentukan kapan diskriminan ini positif, negatif, dan nol.

Kita mulai dari kasus paling mudah, yaitu ketika diskriminan sama dengan nol. Jadi, kita menyelesaikan persamaan 4p² − 36 = 0. Untuk p berapa persamaan ini dipenuhi? Ini adalah persamaan kuadrat murni, dan penyelesaiannya mudah:

$$\begin{array}{rcl}4p^2-36& =& 0\\ p^2-9& =& 0\\ p^2& =& 9\\ p& =& \pm 3\end{array}$$

Jika parameter p sama dengan plus atau minus tiga, persamaan kuadrat mempunyai satu akar kembar.

Sekarang kita tentukan kapan diskriminan positif. Kita menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat

$$4p^2-36>0.$$

Pembuat nol fungsi f(p) = 4p² − 36 sudah kita ketahui dari langkah sebelumnya. Dari pembuat nol itu kita susun dua interval, satu “di dalam” dan satu “di luar”.

$$\begin{array}{rcl}{I}_1& =& (-\mathrm{\infty },-3)\cup (3,\mathrm{\infty })\\ I_2& =& (-3,3)\end{array}$$

Pada salah satu interval ini fungsi f(p) positif, pada interval lainnya negatif. Kita mengetahuinya dengan menyubstitusikan suatu titik dari salah satu interval ke fungsi. Paling mudah, kita substitusikan nol dari interval I₂. Diperoleh f(0) = 0 − 36 = −36. Jadi, pada interval I₂ fungsi bernilai negatif, sedangkan pada interval I₁ bernilai positif.

Dari sini kita peroleh bahwa untuk parameter pada interval I₁ persamaan mempunyai dua penyelesaian berbeda, sedangkan untuk parameter pada interval I₂ persamaan tidak mempunyai penyelesaian real. Perhatikan grafik fungsi f(p) = 4p² − 36. Di titik plus dan minus tiga fungsi ini bernilai nol, pada interval I₂ bernilai negatif, dan pada interval I₁ bernilai positif.

Menghitung akar-akar persamaan

Sekarang tinggal menghitung penyelesaian persamaan untuk kasus-kasus ketika persamaan mempunyai penyelesaian. Kita mulai dari kasus ketika persamaan mempunyai satu akar kembar, yaitu ketika diskriminan sama dengan nol. Hal ini terjadi jika parameter sama dengan plus atau minus akar kuadrat dari sembilan.

Kasus pertama, p = 3. Persamaannya berbentuk:

$$x^2+2\cdot 3x+9=0.$$

Kita hitung diskriminan persamaan ini. Hasilnya seharusnya nol:

$$D=b^2-4ac=6^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0.$$

Kita hitung akarnya dengan rumus:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{0}}{2a}=\frac{-6}{2}=-3.$$

Kasus kedua, p = −3. Persamaannya berbentuk:

$$x^2-2\cdot 3x+9=0.$$

Kita hitung diskriminannya:

$$D=b^2-4ac=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0.$$

Kita hitung akarnya:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{0}}{2a}=\frac{6}{2}=3.$$

Pada langkah terakhir, kita tinggal menghitung penyelesaian persamaan jika parameternya berasal dari himpunan (−∞,−3) ∪ (3, ∞). Diskriminannya sudah kita hitung, sehingga akar-akar persamaan tinggal dihitung dengan rumus.

$$x_{1,2}=\frac{-2p\pm \sqrt{4p^2-36}}{2}=\frac{-2p\pm \sqrt{4(p^2-9)}}{2}=\frac{-2p\pm 2\sqrt{p^2-9}}{2}=-p\pm \sqrt{p^2-9}.$$

Di akhir, pecahan kita sederhanakan dengan membagi 2. Inilah akar-akar persamaan kuadrat jika parameternya berasal dari interval (−∞,−3) ∪ (3, ∞). Jika parameternya berasal dari interval (−3, 3), persamaan tidak mempunyai penyelesaian real.