Phương trình bậc hai chứa tham số

Phương trình bậc hai chứa tham số khác phương trình bậc hai thông thường ở chỗ có thêm một tham số, thường kí hiệu là p hoặc m. Nhiệm vụ là xác định nghiệm của phương trình bậc hai tuỳ theo tham số p này.

Ví dụ thứ nhất

Cho phương trình bậc hai sau với tham số p.

$$x^2+2px+9=0.$$

Tuỳ theo tham số p, phương trình có những loại nghiệm nào? Có thể phân biệt ba trường hợp: phương trình vô nghiệm trên tập số thực, phương trình có nghiệm kép, và phương trình có hai nghiệm phân biệt. Ta phân biệt các trường hợp này nhờ biệt thức.

Tham số được xem như một hằng số, tức là với phương trình bậc hai trên ta có a = 1, b = 2p và c = 9. Bây giờ tính biệt thức như thường lệ:

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=4p^2-4\cdot 1\cdot 9=4p^2-36.$$

Vậy biệt thức là Δ= 4p² − 36. Bây giờ cần xác định khi nào biệt thức này dương, âm và bằng 0.

Bắt đầu với trường hợp đơn giản nhất, khi biệt thức bằng 0. Như vậy ta giải phương trình 4p² − 36 = 0. Đẳng thức này đúng với những giá trị p nào? Đây là phương trình bậc hai khuyết b, giải dễ dàng:

$$\begin{array}{rcl}4p^2-36& =& 0\\ p^2-9& =& 0\\ p^2& =& 9\\ p& =& \pm 3\end{array}$$

Khi tham số p bằng 3 hoặc −3, phương trình bậc hai có nghiệm kép.

Bây giờ tìm khi nào biệt thức dương. Ta giải bất phương trình bậc hai

$$4p^2-36>0.$$

Ở bước trước ta đã tìm được các giá trị p làm hàm số f(p) = 4p² − 36 bằng 0. Từ chúng lập hai tập hợp, một tập “bên trong” và một tập “bên ngoài”.

$$\begin{array}{rcl}{I}_1& =& (-\mathrm{\infty };-3)\cup (3;+\mathrm{\infty })\\ I_2& =& (-3;3)\end{array}$$

Trên một trong hai tập này hàm số f(p) dương, trên tập còn lại thì âm. Để biết, ta thay vào hàm số một điểm thuộc một trong hai tập. Đơn giản nhất là thay số 0 thuộc I₂. Ta có f(0) = 0 − 36 = −36. Vậy trên I₂ hàm số âm, còn trên I₁ hàm số dương.

Từ đó suy ra: khi p thuộc I₁, phương trình có hai nghiệm phân biệt, còn khi p thuộc I₂, phương trình vô nghiệm thực. Có thể xem đồ thị hàm số f(p) = 4p² − 36. Tại các điểm 3 và −3, hàm số bằng 0, trên I₂ hàm số âm, trên I₁ hàm số dương.

Tính nghiệm của phương trình

Bây giờ chỉ còn tính nghiệm của phương trình trong các trường hợp phương trình có nghiệm. Bắt đầu với trường hợp phương trình có nghiệm kép, tức là khi biệt thức bằng 0. Điều này xảy ra khi tham số bằng 3 hoặc −3, tức là bằng cộng hoặc trừ căn bậc hai của 9.

Trường hợp thứ nhất, p = 3. Khi đó phương trình có dạng:

$$x^2+2\cdot 3x+9=0.$$

Tính biệt thức của phương trình này. Kết quả phải bằng 0:

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=6^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0.$$

Tính nghiệm theo công thức:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{0}}{2a}=\frac{-6}{2}=-3.$$

Trường hợp thứ hai, p = −3. Phương trình có dạng:

$$x^2-2\cdot 3x+9=0.$$

Tính biệt thức:

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0.$$

Tính nghiệm:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{0}}{2a}=\frac{6}{2}=3.$$

Bước cuối cùng là tìm nghiệm của phương trình khi tham số thuộc tập (−∞; −3) ∪ (3; +∞). Biệt thức đã tính, nên chỉ cần tính nghiệm theo công thức.

$$x_{1,2}=\frac{-2p\pm \sqrt{4p^2-36}}{2}=\frac{-2p\pm \sqrt{4(p^2-9)}}{2}=\frac{-2p\pm 2\sqrt{p^2-9}}{2}=-p\pm \sqrt{p^2-9}.$$

Ở bước cuối, ta đã rút gọn phân thức cho 2. Đây là các nghiệm của phương trình bậc hai khi tham số thuộc tập (−∞; −3) ∪ (3; +∞). Khi tham số thuộc khoảng (−3; 3), phương trình vô nghiệm thực.