매개변수가 있는 이차방정식

매개변수가 있는 이차방정식은 보통의 이차방정식에 p나 m으로 나타내는 매개변수가 더 들어 있다는 점이 다르다. 이 매개변수 p에 따라 이차방정식이 어떤 해를 갖는지 알아보는 것이 목표이다.

첫 번째 예제

매개변수 p가 있는 다음 이차방정식을 보자.

$$x^2+2px+9=0.$$

매개변수 p에 따라 방정식은 어떤 해를 가질까? 모두 세 경우로 나눌 수 있다. 방정식이 실수 범위에서 해가 없는 경우, 중근을 갖는 경우, 서로 다른 두 실근을 갖는 경우이다. 이 경우들은 판별식으로 구별한다.

매개변수는 상수처럼 다룬다. 즉 앞의 이차방정식에서는 a = 1, b = 2p, c = 9이다. 이제 평소처럼 판별식을 구한다.

$$D=b^2-4ac=4p^2-4\cdot 1\cdot 9=4p^2-36.$$

판별식은 D = 4p² − 36이다. 이제 이 판별식이 언제 양수이고, 언제 음수이고, 언제 0인지 알아야 한다.

가장 간단한 경우, 즉 판별식이 0인 경우부터 보자. 방정식 4p² − 36 = 0을 푼다. 어떤 p에 대해 성립할까? 이 방정식은 일차항이 없는 이차방정식이므로 쉽게 풀 수 있다.

$$\begin{array}{rcl}4p^2-36& =& 0\\ p^2-9& =& 0\\ p^2& =& 9\\ p& =& \pm 3\end{array}$$

매개변수 p가 3이나 −3이면 이차방정식은 중근을 갖는다.

이번에는 판별식이 양수인 경우를 알아보자. 다음 이차부등식을 풀면 된다.

$$4p^2-36>0.$$

함수 f(p) = 4p² − 36의 값이 0이 되는 점은 앞 단계에서 이미 구했다. 이 점들로 “안쪽” 구간과 “바깥쪽” 구간 두 개를 만든다.

$$\begin{array}{rcl}{I}_1& =& (-\mathrm{\infty },-3)\cup (3,\mathrm{\infty })\\ I_2& =& (-3,3)\end{array}$$

이 구간 가운데 한쪽에서는 함수 f(p)가 양수이고 다른 쪽에서는 음수이다. 한 구간의 점을 함수에 넣어 보면 알 수 있다. 가장 간단한 것은 구간 I₂의 0을 넣는 것이다. f(0) = 0 − 36 = −36이다. 따라서 구간 I₂에서는 함수가 음수이고 구간 I₁에서는 양수이다.

따라서 매개변수가 구간 I₁에 있으면 방정식은 서로 다른 두 실근을 갖고, 구간 I₂에 있으면 실근이 없다. 함수 f(p) = 4p² − 36의 그래프를 보자. 3과 −3에서 0이고, 구간 I₂에서 음수, 구간 I₁에서 양수이다.

근 구하기

이제 방정식이 해를 갖는 경우에 해를 구하는 일이 남았다. 먼저 판별식이 0인 경우, 즉 방정식이 중근을 갖는 경우부터 보자. 매개변수가 9의 제곱근, 즉 3이나 −3일 때이다.

첫 번째 경우는 p = 3이다. 방정식은 다음과 같다.

$$x^2+2\cdot 3x+9=0.$$

이 방정식의 판별식을 구한다. 0이 나와야 한다.

$$D=b^2-4ac=6^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0.$$

공식에 따라 근을 구한다.

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{0}}{2a}=\frac{-6}{2}=-3.$$

두 번째 경우는 p = −3이다. 방정식은 다음과 같다.

$$x^2-2\cdot 3x+9=0.$$

판별식을 구한다.

$$D=b^2-4ac=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0.$$

근을 구한다.

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{0}}{2a}=\frac{6}{2}=3.$$

마지막으로 매개변수가 집합 (−∞,−3) ∪ (3, ∞)에 있을 때 방정식의 해를 구한다. 판별식은 이미 구했으므로 공식에 따라 근을 구한다.

$$x_{1,2}=\frac{-2p\pm \sqrt{4p^2-36}}{2}=\frac{-2p\pm \sqrt{4(p^2-9)}}{2}=\frac{-2p\pm 2\sqrt{p^2-9}}{2}=-p\pm \sqrt{p^2-9}.$$

마지막에 분수를 2로 약분했다. 매개변수가 구간 (−∞,−3) ∪ (3, ∞)에 있을 때 이차방정식의 근은 이와 같다. 매개변수가 구간 (−3, 3)에 있으면 방정식은 실근을 갖지 않는다.