Persamaan kuadrat dalam himpunan bilangan kompleks

Jika saat menyelesaikan persamaan kuadrat kamu memperoleh diskriminan negatif, artinya persamaan itu tidak mempunyai penyelesaian dalam himpunan bilangan real. Namun, persamaan seperti itu selalu mempunyai penyelesaian dalam himpunan bilangan kompleks.

Motivasi

Mari kita selesaikan persamaan kuadrat berikut: x² + 2x + 5 = 0. Pertama, kita hitung diskriminannya: D = 4 − 20 = −16. Seperti yang sudah kita ketahui, persamaan ini tidak mempunyai penyelesaian dalam himpunan bilangan real. Akan tetapi, bilangan kompleks punya kelebihan: kita bisa menarik akar kuadrat bilangan negatif. Karena i² = −1, diskriminan kita dapat ditulis ulang menjadi −16 = 16i². Dari bilangan ini kita sudah bisa menarik akar kuadrat dan memperoleh 4i. Kita hitung penyelesaian persamaan kuadratnya:

$$x_1=\frac{-2+\sqrt{16i^2}}{2}=\frac{-2+4i}{2}=\frac{2(-1+2i)}{2}=2i-1.$$

$$x_2=\frac{-2-\sqrt{16i^2}}{2}=\frac{-2-4i}{2}=\frac{2(-1-2i)}{2}=-2i-1.$$

Rumus dan hubungan

Dari contoh tadi kita dapat menurunkan rumus untuk menghitung akar-akar persamaan kuadrat jika diskriminannya negatif:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{|D|}}{2a}.$$

Dari sini terlihat bahwa setiap persamaan kuadrat mempunyai penyelesaian. Jika diskriminannya nonnegatif, bilangan real sudah cukup. Jika diskriminannya negatif, persamaan harus diselesaikan dalam bilangan kompleks. Secara umum, setiap persamaan kuadrat mempunyai penyelesaian dalam himpunan bilangan kompleks.

Rumus jumlah dan hasil kali akar (Vieta) juga berlaku untuk akar-akar kompleks ini. Pertama, penurunan rumus jumlah:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1+x_2& =& \frac{-b+i\sqrt{|D|}}{2a}+\frac{-b-i\sqrt{|D|}}{2a}\\ & =& \frac{-b+i\sqrt{|D|}-b-i\sqrt{|D|}}{2a}\\ & =& \frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}\end{array}$$

Lalu rumus hasil kali. Kita manfaatkan fakta bahwa diskriminan negatif. Karena kita perlu menarik akarnya, kita menghitung dengan minus D, yang merupakan bilangan positif. Jadi, sebagai pengganti |D| kita tulis −D, hasilnya sama.

$$\begin{array}{rcl}{x}_1\cdot x_2& =& \frac{-b+i\sqrt{-D}}{2a}\cdot \frac{-b-i\sqrt{-D}}{2a}\\ & =& \frac{b^2+b\cdot i\sqrt{-D}-b\cdot i\sqrt{-D}-(-D)i^2}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2+D{i}^2}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2-D}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\ & =& \frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\end{array}$$

Contoh

Selesaikan persamaan kuadrat 2x² + 6x + 9 = 0. Kita hitung diskriminannya: D = 36 − 72 = −36. Bilangan ini negatif, jadi kita gunakan rumus akar kompleks dan tinggal menyubstitusikan nilainya:

$$x_1=\frac{-b+i\sqrt{|D|}}{2a}=\frac{-6+i\sqrt{36}}{4}=\frac{-6+6i}{4}=\frac{3(i-1)}{2}=-\frac{3}{2}+\frac{3i}{2}$$

$$x_2=\frac{-b-i\sqrt{|D|}}{2a}=\dots =-\frac{3}{2}-\frac{3i}{2}$$