Operasi ekuivalen pada pertidaksamaan

Saat mengubah pertidaksamaan, kita menggunakan operasi ekuivalen, yaitu operasi yang tidak mengubah himpunan penyelesaian pertidaksamaan. Tujuannya adalah membawa pertidaksamaan ke bentuk yang lebih sederhana, sehingga penyelesaiannya bisa langsung dihitung.

Apa itu pertidaksamaan

Diberikan dua fungsi f(x) dan g(x). Pertidaksamaan adalah pernyataan yang berbentuk salah satu dari berikut ini:

$$\begin{array}{rcl}f(x)<g(x),& & f(x)>g(x)\\ f(x)\le g(x),& & f(x)\ge g(x)\end{array}$$

Penyelesaian pertidaksamaan adalah semua x dari (biasanya) himpunan bilangan real yang memenuhi pertidaksamaan itu. Contoh pertidaksamaan: 6x<12. Di sini f(x) = 6x dan g(x) = 12. 6x adalah ruas kiri pertidaksamaan, 12 adalah ruas kanan. Penyelesaian pertidaksamaan ini adalah semua x yang kurang dari dua: x<2, yaitu interval (−∞, 2).

Menukar ruas sambil membalik tanda

Pada persamaan, ruas kanan dan ruas kiri boleh kita tukar tanpa khawatir. Pada pertidaksamaan, hal ini tidak boleh dilakukan begitu saja. Misalnya, dari pertidaksamaan x<5 tidak mungkin sekaligus berlaku 5 < x. Yang pertama menyatakan bahwa x kurang dari lima, yang kedua bahwa x lebih dari lima. Akan tetapi, jika sambil menukar ruas kita juga membalik tanda pertidaksamaan, operasi itu menjadi ekuivalen.

Jadi, dari pertidaksamaan f(x) < g(x) kita juga dapat menulis g(x) > f(x). Ruasnya kita tukar, tetapi sekaligus kita tulis > sebagai pengganti <. Begitu pula untuk “kurang dari atau sama dengan”: pertidaksamaan f(x) ≤ g(x) dapat diubah menjadi g(x) ≥ f(x).

Menambahkan suatu bentuk

Ke kedua ruas pertidaksamaan boleh kita tambahkan bilangan atau fungsi yang terdefinisi pada himpunan yang sama dengan himpunan tempat pertidaksamaan diselesaikan. Contoh: diberikan pertidaksamaan x>0. Ke kedua ruasnya bisa kita tambahkan, misalnya, bilangan tiga. Diperoleh pertidaksamaan x + 3>3. Hasil ini masuk akal.

Dengan cara yang sama, kita bisa menambahkan suatu fungsi. Jika kita mempunyai pertidaksamaan x > −3x + 7, kedua ruasnya dapat kita tambah 3x (ditulis /+3x), sehingga diperoleh:

$$\begin{array}{rcl}x& >& -3x+7/+3x\\ x+3x& >& -3x+3x+7\\ 4x& >& 7\end{array}$$

Tentu saja kita juga boleh mengurangkan suatu bentuk, atau dengan kata lain menambahkan bilangan negatif.

Mengalikan pertidaksamaan dengan bentuk positif

Pertidaksamaan tidak bisa begitu saja kita kalikan dengan sembarang bentuk seperti pada persamaan. Jika kita mengalikan dengan bentuk yang selalu positif, tidak ada masalah. Akan tetapi, jika kita mengalikan dengan bentuk negatif, tanda pertidaksamaan harus dibalik (lihat bagian berikutnya). Tentu saja, seperti pada persamaan, kita tidak boleh mengalikan dengan bentuk yang bernilai nol!

Apa yang dimaksud bentuk yang selalu positif? Bentuk paling sederhana yang selalu positif adalah bilangan positif. Jadi, pertidaksamaan x>2 boleh kita kalikan sepuluh, yaitu bilangan positif, dan himpunan penyelesaiannya tidak berubah. Diperoleh pertidaksamaan 10x>20. Tentu saja kita juga boleh membagi dengan bilangan positif. Dari pertidaksamaan yang sudah diubah ini, dengan membagi lima diperoleh pertidaksamaan 2x>4.

Akan tetapi, pertidaksamaan tidak boleh begitu saja dikalikan dengan variabel x. Secara umum, variabel x bisa bernilai positif maupun negatif, dan itu tidak diperbolehkan. Ada situasi ketika x selalu positif. Misalnya, dalam soal geometri, variabel x bisa menyatakan panjang suatu ruas garis. Panjang tidak mungkin negatif (paling kecil nol). Jadi, jika kita tahu bahwa x sama dengan panjang suatu ruas garis, pertidaksamaan boleh dikalikan dengan variabel x.

Bentuk lain yang selalu nonnegatif adalah kuadrat. Jika suatu bilangan kamu kuadratkan, hasilnya positif (atau nol). Jadi, jika kita mempunyai pertidaksamaan

$$\frac{1}{x^2}>2,$$

kedua ruasnya boleh kita kalikan dengan x². Diperoleh: 1>2x². Tentu dengan syarat x tidak sama dengan nol. Masih banyak fungsi lain yang selalu positif. Misalnya, fungsi trigonometri sinus dan kosinus mempunyai daerah hasil [−1, 1]. Nilainya tidak selalu positif. Namun, jika kita menambahkan 2, daerah hasilnya menjadi [1, 3], dan interval ini sudah positif. Dengan fungsi seperti itu, pertidaksamaan boleh dikalikan. Jadi, jika kita mempunyai pertidaksamaan

$$\frac{x+3}{\cos (x)+3}\le 3x-5,$$

seluruhnya boleh kita kalikan dengan cos(x) + 3, karena fungsi itu selalu positif. Diperoleh:

$$x+3\le (3x-5)(\cos (x)+3).$$

Mengalikan pertidaksamaan dengan bentuk yang selalu negatif

Dengan bilangan dan bentuk negatif, situasinya lebih rumit. Perhatikan contoh berikut: 1<2. Ketidaksamaan ini jelas benar. Bagaimana jika seluruh pertidaksamaan kita kalikan dengan minus satu? Diperoleh −1<−2. Apakah pertidaksamaan ini benar? Tidak, karena minus dua lebih kecil daripada minus satu. Jelas bahwa perkalian dengan bilangan negatif bukan operasi ekuivalen pada pertidaksamaan.

Akan tetapi, jika saat mengalikan dengan bilangan negatif kita sekaligus membalik tanda pertidaksamaan, operasi itu menjadi ekuivalen. Jika pertidaksamaan 1<2 kita kalikan −1 dan sekaligus menulis > sebagai pengganti <, kita melakukan operasi ekuivalen dan memperoleh pertidaksamaan −1>−2.

Mengalikan dengan bilangan negatif cukup mudah. Yang lebih sulit adalah mengalikan dengan bentuk aljabar (fungsi). Mengapa pertidaksamaan tidak boleh dikalikan dengan variabel x? Jika variabel itu bernilai positif, tanda tidak berubah. Jika bernilai negatif, tanda harus dibalik. Secara umum kedua kasus bisa terjadi: jika x tidak dibatasi, variabel bisa negatif maupun positif. Contoh:

$$\frac{1}{x}>1$$

Langkah yang salah adalah mengalikan pertidaksamaan dengan variabel x. Kita akan memperoleh 1>x, sehingga penyelesaiannya adalah semua x yang kurang dari satu (tentu dengan syarat x tidak sama dengan nol). Namun, bagaimana jika ke pertidaksamaan semula kita substitusikan x dengan bilangan −1? Diperoleh:

$$\begin{array}{rcl}\frac{1}{-1}& >& 1\\ -1& >& 1\end{array}$$

dan ini jelas tidak benar. Karena itu, pertidaksamaan tidak boleh begitu saja dikalikan dengan variabel x.

Namun, seperti pada bagian sebelumnya ada bentuk yang selalu positif, ada juga bentuk yang selalu negatif. Cara paling mudah memperolehnya adalah menuliskan tanda minus di depan bentuk yang selalu positif. Pada bagian sebelumnya kita sudah melihat bahwa fungsi cos(x) + 3 selalu positif. Jika di depan seluruh bentuk itu kita tulis tanda minus, diperoleh fungsi yang selalu negatif: −(cos(x) + 3).

Memangkatkan dan menarik akar pertidaksamaan dengan bilangan asli

Seperti pada persamaan, memangkatkan pertidaksamaan secara umum bukan operasi ekuivalen. Perhatikan pertidaksamaan berikut: x>−2. Bagaimana jika kedua ruasnya kita kuadratkan? Diperoleh: x²>4. Apakah pertidaksamaan ini ekuivalen? Apa yang terjadi jika ke kedua pertidaksamaan kita substitusikan x dengan nol? Pada yang pertama diperoleh 0>−2, dan ini benar. Pada yang kedua diperoleh 0>4, dan ini tidak benar. Jadi, operasi yang kita lakukan tidak ekuivalen.

Kapan pertidaksamaan boleh dipangkatkan dengan bilangan asli? Jika kedua ruasnya nonnegatif (positif atau nol). Dalam kasus itu tidak ada masalah. Contoh:

$$\begin{array}{rcl}5& >& 2{/}^2\\ 25& >& 4\end{array}$$

Contoh lain adalah nilai mutlak, yang selalu menghasilkan bilangan nonnegatif. Jadi, pertidaksamaan berikut boleh dikuadratkan tanpa khawatir (ditulis /²):

$$\begin{array}{rcl}|x|& <& 3{/}^2\\ |x{|}^2& <& 9\end{array}$$

Penarikan akar berperilaku persis seperti perpangkatan. Jika kedua ruas nonnegatif, kita boleh menarik akar pangkat bilangan asli dari kedua ruas pertidaksamaan. Jadi, dari pertidaksamaan tadi kita bisa kembali ke bentuk semula dengan menarik akar kuadrat (ditulis /√):

$$\begin{array}{rcl}|x{|}^2& <& 9/\sqrt{}\\ |x|& <& 3\end{array}$$

Menghilangkan bentuk yang tidak diperlukan

Kita sering menyelesaikan pertidaksamaan berbentuk f(x)>0. Dalam kasus seperti ini, fungsi f sering kali rumit dan dapat disederhanakan dengan menghilangkan beberapa bentuk. Perhatikan pertidaksamaan berikut: 2x>0. Jelas pertidaksamaan ini dipenuhi jika x>0. Jika x negatif, 2x juga negatif. Jika bilangan negatif dikalikan dua, hasilnya tetap negatif. Bilangan 2 tidak mampu mengubah tanda bentuk yang dikalikannya.

Kita juga bisa mencoba menyelesaikan pertidaksamaan 5x>0, 157x>0, dan π x>0. Pada semua kasus penyelesaiannya sama, yaitu x>0. Koefisien positif di depan x sama sekali tidak mengubah himpunan penyelesaian pertidaksamaan.

Secara formal, koefisien seperti itu kita hilangkan dengan membagi kedua ruas pertidaksamaan dengan koefisien tersebut, seperti ini:

$$\begin{array}{rcl}2x& >& 0/:2\\ x& >& 0\end{array}$$

Perhatikan bahwa koefisien positif, sebut saja a, hanya boleh dihilangkan jika koefisien itu mengalikan seluruh ruas kiri. Dari pertidaksamaan 2x + 7>0 kita tidak bisa menghilangkan bilangan 2, karena bilangan itu tidak mengalikan seluruh ruas kiri. Namun, seluruh pertidaksamaan boleh kita bagi dua, sehingga diperoleh pertidaksamaan x + 3,5>0.

Hal yang sama berlaku pada contoh ini:

$$x^2\cdot (x-3)>0$$

Mungkin terlihat rumit, tetapi bentuk x² selalu nonnegatif, sehingga tidak mengubah tanda bentuk dalam tanda kurung di sebelahnya. Bentuk ini dapat dihilangkan dari pertidaksamaan: kedua ruas kita bagi dengan x² dan diperoleh:

$$x-3>0$$

Kita hanya perlu menambahkan syarat x² ≠ 0, karena kita tidak boleh membagi dengan nol. Namun, x² bernilai nol hanya jika x bernilai nol, dan untuk x = 0 pertidaksamaan tidak dipenuhi. Diperoleh (x = 0): 0(0 − 3)>0, dan 0>0 tidak benar.

Ini bukan metode khusus, melainkan penerapan cerdik dari bagian sebelumnya tentang mengalikan dan membagi dengan bentuk positif.