복소수의 극형식

복소수를 a+bi 꼴로 나타내는 것이 언제나 편한 것은 아니므로 복소수의 극형식도 쓴다.

평면 위의 점을 나타내는 방법

그림으로 나타내면 복소수 z = x + yi는 복소평면 위의 점이다. 이 점의 좌표는 (x, y)이다. 좌표 (x, y)를 쓰는 것 말고 점 z를 나타내는 다른 방법은 무엇일까?

점 z와 원점을 잇는 선분이 x축(정확히는 x축의 양의 방향)과 이루는 각을 구할 수 있다. 그러면 원점에서 보아 점 z가 어느 방향에 있는지 알 수 있다. 정확히 어디에 있는지 알려면 원점까지의 거리도 알아야 한다. 이 두 정보가 있으면 복소평면에서 점 z를 정확히 나타낼 수 있다.

극형식

다음 그림은 복소수를 극형식으로 나타내는 데 필요한 것을 정리한 것이다.

보다시피 점 z와 원점을 잇는 선분의 길이, 즉 z의 절댓값을 알아야 한다. 절댓값은 이미 구할 수 있다. 또 각 φ(편각)를 알아야 한다. 복소수의 극형식은 다음과 같다.

$$z=|z|(\cos \phi +i\sin \phi )$$

각 φ는 어떻게 구할까? 삼각함수를 이용한다. 여기에는 직각삼각형이 있고 빗변의 길이, 즉 수 z의 절댓값을 알고 있다. 극형식에는 사인과 코사인이 모두 있으므로 각 φ를 두 함수로 모두 나타내야 한다. 삼각함수의 성질에 따라 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rcl}\sin \phi & =& \frac{y}{|z|}\\ \cos \phi & =& \frac{x}{|z|}\end{array}$$

이 공식에서 각 φ 자체를 구할 수 있다. 극형식에는 사인과 코사인이 들어가므로 각을 구해야 한다.

예제

복소수 $z=\sqrt{3}+i$를 극형식으로 바꾸시오. 먼저 수 z의 절댓값을 구하면 다음과 같다.

$$|z|=\sqrt{3+1}=2$$

이제 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rcl}\sin \phi & =& \frac{1}{2}\\ \cos \phi & =& \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}$$

이제 계산기로 아크사인과 아크코사인을 구할 수도 있고, 기본적인 삼각함수 특수각의 값을 이용할 수도 있다. 나온 두 값은 모두 특수각의 값이므로 이번에는 계산기를 쓰지 않는다.

$\sin \phi =\frac{1}{2}$이면 각 φ는 π/6이거나 5π/6이다. $\cos \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$이면 각 φ는 π/6이거나 11π/6이다. 두 경우에 공통인 각은 π/6이고, 이 각을 쓰면 앞의 식에 적은 값을 얻는다.

곱셈과 나눗셈

극형식의 복소수도 물론 곱하고 나눌 수 있다. 삼각함수의 덧셈정리를 이용하면 두 복소수의 곱과 몫의 공식을 유도할 수 있다. 두 복소수 z₁과 z₂가 있다고 하자.

$$\begin{array}{rcl}{z}_1& =& |z_1|(\cos {\phi }_1+i\sin {\phi }_1)\\ z_2& =& |z_2|(\cos {\phi }_2+i\sin {\phi }_2)\end{array}$$

공식은 다음과 같다.

$$\begin{array}{rcl}{z}_1\cdot z_2& =& |z_1|\cdot |z_2|[\cos ({\phi }_1+{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1+{\phi }_2)]\\ \frac{z_1}{z_2}& =& \frac{|z_1|}{|z_2|}[\cos ({\phi }_1-{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1-{\phi }_2)]\end{array}$$