복소수를 복소평면에 나타내기

복소수는 보통의 좌표평면에 나타낼 수도 있다. 복소수를 나타내는 평면을 복소평면(가우스 평면)이라고 한다.

복소평면에 나타내기

모든 복소수 z = x + yi는 평면에서 좌표가 (x, y)인 점으로 나타낸다. 복소평면에서 x축을 실수축, y축을 허수축이라고 한다. 두 복소수 z₁ = 2 + 5i와 z₂ = 4 − 3i가 있다고 하자. 복소평면에 나타내면 다음과 같다.

부호를 바꾼 수와 켤레복소수

복소평면에는 부호를 바꾼 수와 켤레복소수를 쉽게 나타낼 수 있다. 복소수 z = 3 + 5i가 있다고 하자. z의 부호를 바꾼 수 −3 − 5i는 복소평면의 원점에 대하여 대칭이다.

켤레복소수는 허수부분의 부호가 바뀌므로 원래 수와 실수축(x축)에 대하여 대칭이다. 그림을 보자($\overline{z}$는 켤레복소수를 나타낸다).

절댓값

실수에서 절댓값은 그 수를 양수로 바꾼 것이다. 복소수에서는 절댓값을 조금 더 복잡하게 구한다. 복소수의 절댓값은 복소평면에서 그 점과 원점 사이의 거리이다.

원점까지의 거리는 피타고라스 정리로 구할 수 있다. 피타고라스 정리에 따르면 |z|² = x² + y²이고, 여기서 x와 y는 복소수의 실수부분과 허수부분이다. 이제 양의 제곱근을 구하기만 하면 수 z = x + yi의 절댓값을 얻는다.

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$$