Petua sinus dan petua kosinus

Petua sinus ialah teorem yang, berbeza dengan fungsi trigonometri biasa, berlaku dalam sebarang segi tiga. Petua ini memberikan hubungan antara panjang sisi dengan saiz sudut. Petua kosinus juga berlaku dalam sebarang segi tiga, dan kes khasnya ialah teorem Pythagoras.

Petua sinus

Petua sinus menyatakan bahawa dalam sebarang (!) segi tiga, nisbah panjang setiap sisi kepada sinus sudut yang bertentangan dengannya adalah malar. Kita menulisnya seperti berikut:

$$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2r,$$

dengan r ialah jejari bulatan luar, dan a, b dan c ialah panjang sisi segi tiga itu. Kesamaan tadi juga boleh ditulis semula dalam bentuk:

$$\frac{a}{b}=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta },\frac{b}{c}=\frac{\sin \beta }{\sin \gamma },\frac{c}{a}=\frac{\sin \gamma }{\sin \alpha }$$

Petua kosinus

Petua kosinus juga berlaku dalam sebarang segi tiga, sama seperti petua sinus. Petua kosinus menyatakan:

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot \mathrm{kos}\alpha \\ b^2& =& c^2+a^2-2ca\cdot \mathrm{kos}\beta \\ c^2& =& a^2+b^2-2ab\cdot \mathrm{kos}\gamma \end{array}$$

Perhatikan bahawa jika salah satu sudut ialah sudut tegak, iaitu bersaiz 90 darjah, bahagian terakhir dalam salah satu rumus akan hilang dan kita memperoleh bentuk teorem Pythagoras. Hal ini kerana jika α = 90°, maka kos(α) = 0, dan kita memperoleh:

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot \mathrm{kos}\alpha \\ a^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot 0\\ a^2& =& b^2+c^2\end{array}$$

Motivasi

Katakan kita mempunyai segi tiga ABC dengan sisi c yang panjangnya |c| = 9. Saiz sudutnya ialah α = 40°, β = 80°, γ = 60°. Persoalannya, berapakah panjang dua sisi yang lain? Di sini fungsi trigonometri biasa tidak lagi mencukupi, kerana fungsi itu berfungsi dalam segi tiga bersudut tegak, sedangkan segi tiga ini jelas bukan segi tiga bersudut tegak. Rajahnya:

Dalam kes ini kita perlu menggunakan cara lain. Salah satunya ialah petua sinus. Bagaimanakah kita menggunakannya? Petua sinus menyatakan bahawa:

$$\frac{|a|}{\sin \alpha }=\frac{|b|}{\sin \beta }=\frac{|c|}{\sin \gamma }$$

Kita mengetahui semua sudut dan panjang sisi c. Jadi, sisi b dapat dikira daripada kesamaan

$$\frac{|b|}{\sin \beta }=\frac{|c|}{\sin \gamma }$$

Di sini kita perlu menjadikan panjang sisi b sebagai perkara rumus. Kita lakukan operasi setara dan darab persamaan dengan sinus sudut beta. Kita memperoleh:

$$|b|=\frac{|c|\cdot \sin \beta }{\sin \gamma }$$

Semua ungkapan di sebelah kanan sama ada diketahui atau dapat dikira. Jadi, kita gantikan:

$$|b|=\frac{9\cdot 0.985}{0.866}=10.23.$$

Dengan cara yang sama, kita kira sisi a yang tinggal:

$$\frac{|a|}{\sin \alpha }=\frac{|c|}{\sin \gamma }$$

Kita jadikan |a| sebagai perkara rumus dengan mendarab persamaan dengan sinus sudut alfa.

$$|a|=\frac{|c|\cdot \sin \alpha }{\sin \gamma }$$

Kita kira hasilnya:

$$|a|=\frac{9\cdot 0.642}{0.866}=6.672$$

Pembuktian petua sinus

Mengapakah kesamaan sinus ini benar? Mari kita lihat segi tiga biasa ABC dan lukis tinggi segi tiga itu kepada sisi c.

Persoalannya, berapakah panjang sisi CP_c? Tinggi ini membahagikan segi tiga ABC kepada dua segi tiga bersudut tegak, dan dengan bantuan kedua-duanya kita dapat mengungkapkan panjang tinggi itu. Jadi, kita cuba mengungkapkan panjang sisi CP_c menggunakan kedua-dua segi tiga. Sinus sudut alfa ialah:

$$\sin (\alpha )=\frac{|C{P}_c|}{|AC|}$$

Daripada sini kita ungkapkan |CP_c|:

$$|C{P}_c|=\sin (\alpha )\cdot |AC|=\sin (\alpha )\cdot |b|.$$

Sekarang kita ungkapkan panjang sisi CP_c menggunakan segi tiga kedua, iaitu menggunakan sudut beta:

$$\sin (\beta )=\frac{|C{P}_c|}{|BC|}$$

Daripada sini sekali lagi kita jadikan |CP_c| sebagai perkara rumus:

$$|C{P}_c|=\sin (\beta )\cdot |BC|=\sin (\beta )\cdot |a|$$

Sekarang panjang tinggi itu diungkapkan dengan dua rumus:

$$|C{P}_c|=\sin (\alpha )\cdot |b|=\sin (\beta )\cdot |a|,$$

jadi kita memperoleh kesamaan

$$\sin (\alpha )\cdot |b|=\sin (\beta )\cdot |a|.$$

Ini sudah hampir dengan apa yang dinyatakan oleh petua sinus. Kita bahagikan seluruh persamaan dengan sinus alfa darab sinus beta:

$$\begin{array}{rcl}\sin (\alpha )\cdot |b|& =& \sin (\beta )\cdot |a|/:\sin (\alpha )\cdot \sin (\beta )\\ \frac{\sin (\alpha )\cdot |b|}{\sin (\alpha )\cdot \sin (\beta )}& =& \frac{\sin (\beta )\cdot |a|}{\sin (\alpha )\cdot \sin (\beta )}/\text{permudahkan sinus}\\ \frac{|b|}{\sin (\beta )}& =& \frac{|a|}{\sin (\alpha )}\end{array}$$

Dalam langkah-langkah tadi, kita telah membuktikan sebahagian daripada petua sinus. Pembuktian bagi gabungan sisi yang lain adalah sama.