Operasi setara ke atas ketaksamaan

Apabila menyelesaikan ketaksamaan, kita menggunakan operasi setara, iaitu operasi yang tidak mengubah set penyelesaian ketaksamaan. Tujuan operasi setara ialah mengubah ketaksamaan kepada bentuk yang lebih mudah supaya penyelesaiannya dapat dikira.

Pengertian ketaksamaan

Diberi dua fungsi f(x) dan g(x). Ketaksamaan ialah ungkapan dalam salah satu bentuk berikut:

$$\begin{array}{rcl}f(x)<g(x),& & f(x)>g(x)\\ f(x)\le g(x),& & f(x)\ge g(x)\end{array}$$

Penyelesaian ketaksamaan ialah semua x daripada (lazimnya) set nombor nyata yang memenuhi ketaksamaan itu. Contoh ketaksamaan: 6x<12. Di sini f(x) = 6x dan g(x) = 12. 6x ialah sebelah kiri ketaksamaan dan 12 ialah sebelah kanan. Penyelesaian ketaksamaan ini ialah semua x yang kurang daripada dua: x<2, iaitu selang (−∞, 2).

Menukar kedua-dua belah dan menyongsangkan tanda

Bagi persamaan, kita boleh menukar sebelah kanan dengan sebelah kiri tanpa bimbang. Hal ini tidak boleh dilakukan pada ketaksamaan. Contohnya, jika kita mempunyai ketaksamaan x<5, maka 5 < x tidak mungkin benar pada masa yang sama. Dalam kes pertama, x kurang daripada lima, manakala dalam kes kedua, x lebih besar daripada lima. Namun, jika kita menukar kedua-dua belah dan pada masa yang sama menyongsangkan tanda ketaksamaan, operasi itu menjadi operasi setara.

Jadi, jika kita mempunyai ketaksamaan f(x) < g(x), kita juga boleh menulis g(x) > f(x). Kita telah menukar kedua-dua belah, dan pada masa yang sama menulis > sebagai ganti <. Begitu juga bagi “kurang daripada atau sama dengan”: ketaksamaan f(x) ≤ g(x) boleh ditulis semula sebagai g(x) ≥ f(x).

Menambahkan ungkapan

Kita boleh menambahkan nombor atau fungsi pada ketaksamaan, asalkan fungsi itu tertakrif pada set yang sama dengan set tempat ketaksamaan itu diselesaikan. Contoh: diberi ketaksamaan x>0. Kita boleh menambahkan, misalnya, nombor tiga pada ketaksamaan ini dan memperoleh ketaksamaan x + 3>3. Hal ini masuk akal.

Begitu juga, kita boleh menambahkan seluruh fungsi. Jika kita mempunyai ketaksamaan x > −3x + 7, kita boleh menambahkan 3x dan memperoleh:

$$\begin{array}{rcl}x& >& -3x+7\text{(tambah }3x\text{)}\\ x+3x& >& -3x+3x+7\\ 4x& >& 7\end{array}$$

Sudah tentu, kita juga boleh menolak suatu ungkapan, atau dengan kata lain, menambahkan nombor negatif.

Mendarab ketaksamaan dengan ungkapan positif

Kita tidak boleh sewenang-wenangnya mendarab ketaksamaan dengan sebarang ungkapan seperti yang boleh dilakukan pada persamaan. Jika kita mendarab dengan ungkapan yang sentiasa positif, tiada masalah. Tetapi jika kita mendarab dengan ungkapan negatif, kita mesti menyongsangkan tanda (lihat bahagian seterusnya). Sudah tentu, sama seperti persamaan, kita tidak boleh mendarab dengan ungkapan yang bernilai sifar!

Apakah maksud ungkapan yang sentiasa positif? Ungkapan sentiasa positif yang paling mudah ialah nombor positif. Jadi, jika kita mempunyai ketaksamaan x>2, kita boleh mendarabnya dengan sepuluh, iaitu nombor positif, dan ketaksamaan itu tetap benar. Kita memperoleh ketaksamaan 10x>20. Sudah tentu, kita juga boleh membahagi dengan nombor positif. Jadi, dengan membahagi ketaksamaan ini dengan lima, kita memperoleh ketaksamaan 2x>4.

Namun, kita tidak boleh sewenang-wenangnya mendarab ketaksamaan dengan pemboleh ubah x. Secara umum, pemboleh ubah x boleh mengambil nilai positif dan juga nilai negatif, dan hal ini tidak dibenarkan. Walau bagaimanapun, ada keadaan apabila x sentiasa positif. Contohnya, dalam soalan geometri, pemboleh ubah x mungkin mewakili panjang suatu tembereng garis. Panjang tidak boleh negatif (paling kecil sifar), jadi jika kita tahu bahawa x ialah panjang suatu tembereng garis, kita boleh mendarab ketaksamaan dengan pemboleh ubah x.

Satu lagi ungkapan yang sentiasa bukan negatif ialah kuasa dua. Jika anda mengkuasaduakan suatu nombor, hasilnya positif (atau sifar). Jadi, jika kita mempunyai ketaksamaan

$$\frac{1}{x^2}>2,$$

kita boleh mendarabnya dengan ungkapan x² dan memperoleh 1>2x², sudah tentu dengan syarat x tidak sama dengan sifar. Terdapat banyak lagi fungsi yang sentiasa positif. Fungsi trigonometri sinus dan kosinus mempunyai julat [−1, 1], dan julat ini tidak sentiasa positif. Tetapi jika kita menambahkan dua kepadanya, julatnya menjadi [1, 3], iaitu selang positif. Kita boleh mendarab ketaksamaan dengan fungsi seperti ini. Jadi, jika kita mempunyai ketaksamaan

$$\frac{x+3}{\mathrm{kos}(x)+3}\le 3x-5,$$

kita boleh mendarab seluruhnya dengan ungkapan kos(x) + 3 kerana fungsi ini sentiasa positif. Kita memperoleh:

$$x+3\le (3x-5)(\mathrm{kos}(x)+3).$$

Mendarab ketaksamaan dengan ungkapan yang sentiasa negatif

Bagi nombor dan ungkapan negatif, keadaannya lebih rumit. Perhatikan contoh ini: 1<2. Ketaksamaan ini pasti benar. Bagaimana jika kita mendarab seluruh ketaksamaan dengan negatif satu? Kita memperoleh −1<−2. Adakah ketaksamaan ini benar? Tidak, negatif dua kurang daripada negatif satu. Jelaslah bahawa pendaraban dengan nombor negatif bukan operasi setara ke atas ketaksamaan.

Namun, jika kita mendarab ketaksamaan dengan nombor negatif dan pada masa yang sama menyongsangkan tanda ketaksamaan, operasi itu menjadi operasi setara. Jika kita mendarab ketaksamaan 1<2 dengan −1 dan pada masa yang sama menulis > sebagai ganti <, kita melakukan operasi setara dan memperoleh ketaksamaan −1>−2.

Pendaraban dengan nombor negatif itu mudah. Keadaannya lebih sukar apabila kita mendarab dengan ungkapan (fungsi). Mengapakah kita tidak boleh mendarab ketaksamaan dengan pemboleh ubah x? Jika pemboleh ubah itu mengambil nilai positif, tanda tidak berubah. Jika pemboleh ubah itu mengambil nilai negatif, kita perlu menyongsangkan tanda. Secara umum, kedua-dua kes boleh berlaku: jika x tidak dihadkan, pemboleh ubah itu boleh bernilai negatif atau positif. Contoh:

$$\frac{1}{x}>1$$

Cara yang salah ialah mendarab ketaksamaan dengan pemboleh ubah x. Kita akan memperoleh 1>x, iaitu penyelesaiannya semua x yang kurang daripada satu (sudah tentu dengan syarat x tidak sama dengan sifar). Tetapi bagaimana jika kita menggantikan −1 untuk x dalam ketaksamaan asal? Kita memperoleh:

$$\begin{array}{rcl}\frac{1}{-1}& >& 1\\ -1& >& 1\end{array}$$

Pernyataan ini jelas tidak benar. Oleh itu, kita tidak boleh sewenang-wenangnya mendarab ketaksamaan dengan pemboleh ubah x.

Walau bagaimanapun, sama seperti ungkapan yang sentiasa positif dalam bahagian sebelumnya, terdapat juga ungkapan yang sentiasa negatif. Cara paling mudah untuk memperolehnya ialah meletakkan tanda negatif di hadapan ungkapan yang sentiasa positif. Dalam bahagian sebelumnya, kita telah melihat bahawa fungsi kos(x) + 3 sentiasa positif. Jika kita meletakkan tanda negatif di hadapan seluruh ungkapan, kita memperoleh fungsi yang sentiasa negatif: −(kos(x) + 3).

Menaikkan kuasa dan mencari punca kuasa ke-n bagi ketaksamaan

Secara umum, menaikkan kuasa kedua-dua belah ketaksamaan bukan operasi setara, sama seperti pada persamaan. Perhatikan ketaksamaan berikut: x>−2. Bagaimana jika kita mengkuasaduakannya? Kita memperoleh: x²>4. Adakah ketaksamaan ini setara? Apakah yang berlaku jika kita menggantikan sifar untuk x dalam kedua-dua ketaksamaan? Dalam kes pertama, kita memperoleh 0>−2, dan pernyataan ini benar. Dalam kes kedua, kita memperoleh 0>4, dan pernyataan ini tidak benar. Jadi, operasi ini bukan operasi setara.

Bilakah kita boleh menaikkan kedua-dua belah ketaksamaan kepada kuasa nombor asli? Apabila kedua-dua belah bukan negatif (positif atau sifar). Dalam kes ini, tiada masalah. Contoh:

$$\begin{array}{rcl}5& >& 2\text{(kuasa duakan)}\\ 25& >& 4\end{array}$$

Contoh lain ialah nilai mutlak, yang sentiasa memberikan nombor bukan negatif. Jadi, ketaksamaan ini boleh dikuasaduakan tanpa bimbang:

$$\begin{array}{rcl}|x|& <& 3\text{(kuasa duakan)}\\ |x{|}^2& <& 9\end{array}$$

Punca kuasa berkelakuan sama seperti kuasa. Jika kedua-dua belah bukan negatif, kita boleh mencari punca kuasa ke-n bagi kedua-dua belah ketaksamaan, dengan n nombor asli. Jadi, ketaksamaan tadi boleh dikembalikan kepada bentuk asalnya dengan mencari punca kuasa dua:

$$\begin{array}{rcl}|x{|}^2& <& 9\text{(punca kuasa dua)}\\ |x|& <& 3\end{array}$$

Menghapuskan ungkapan yang tidak perlu

Kita sering menyelesaikan ketaksamaan dalam bentuk f(x)>0. Dalam kes ini, fungsi f mungkin rumit dan boleh dipermudahkan dengan membuang beberapa ungkapan. Perhatikan ketaksamaan berikut: 2x>0. Jelaslah bahawa ketaksamaan ini dipenuhi apabila x>0. Jika x negatif, 2x juga negatif. Jika kita mendarab nombor negatif dengan dua, nombor itu kekal negatif. Nombor dua tidak dapat mengubah tanda ungkapan yang didarabnya.

Kita juga boleh cuba menyelesaikan ketaksamaan 5x>0, 157x>0 dan π x>0. Dalam semua kes, penyelesaiannya sama, iaitu x>0. Pekali positif di hadapan x tidak mengubah kebenaran ketaksamaan.

Secara formal, kita menghapuskan pekali seperti ini dengan membahagi ketaksamaan dengan pekali itu, seperti berikut:

$$\begin{array}{rcl}2x& >& 0\text{(bahagi dengan 2)}\\ x& >& 0\end{array}$$

Perhatikan bahawa untuk menghapuskan pekali positif, katakan a, pekali itu mesti mendarab seluruh sebelah kiri. Kita tidak boleh menghapuskan dua daripada ketaksamaan 2x + 7>0 kerana dua tidak mendarab seluruh sebelah kiri. Namun, kita boleh membahagi seluruh ketaksamaan dengan dua dan memperoleh ketaksamaan x + 3.5>0.

Begitu juga dengan contoh ini:

$$x^2\cdot (x-3)>0$$

Ketaksamaan ini mungkin kelihatan rumit, tetapi ungkapan x² sentiasa bukan negatif, jadi ungkapan itu tidak mengubah tanda kurungan yang berikutnya. Oleh itu, kita boleh menghapuskan ungkapan ini daripada ketaksamaan: kita bahagikan ketaksamaan dengan x² dan memperoleh:

$$x-3>0$$

Kita hanya perlu menambah syarat x² ≠ 0 kerana kita tidak boleh membahagi dengan sifar. Namun, x² bernilai sifar hanya apabila x sifar, dan bagi x = 0 ketaksamaan itu tidak dipenuhi. Kita memperoleh (x = 0): 0(0 − 3)>0, dan 0>0 tidak benar.

Kaedah ini bukanlah kaedah istimewa. Kaedah ini hanyalah penggunaan bijak bagi perkara sebelumnya tentang pendaraban dan pembahagian dengan ungkapan positif.