Persamaan kuadratik dengan parameter

Persamaan kuadratik dengan parameter berbeza daripada persamaan kuadratik biasa kerana persamaan ini mengandungi satu lagi parameter, yang sering ditandakan dengan p atau m. Tugas kita ialah menentukan penyelesaian persamaan kuadratik itu bergantung pada parameter p.

Contoh pertama

Diberi persamaan kuadratik berikut dengan parameter p.

$$x^2+2px+9=0.$$

Apakah penyelesaian persamaan ini bergantung pada parameter p? Terdapat tiga kes yang perlu dibezakan: persamaan tiada penyelesaian dalam set nombor nyata, persamaan mempunyai dua penyelesaian yang sama, dan persamaan mempunyai dua penyelesaian yang berbeza. Kita bezakan kes-kes ini menggunakan pembeza layan.

Parameter berkelakuan seperti pemalar, jadi bagi persamaan kuadratik di atas, a = 1, b = 2p dan c = 9. Sekarang kita kira pembeza layan seperti biasa:

$$D=b^2-4ac=4p^2-4\cdot 1\cdot 9=4p^2-36.$$

Jadi, pembeza layannya ialah D = 4p² − 36. Sekarang kita perlu menentukan bilakah pembeza layan ini positif, negatif dan sifar.

Mari kita mulakan dengan kes yang paling mudah, iaitu apabila pembeza layan sifar. Kita perlu menyelesaikan persamaan 4p² − 36 = 0. Bagi nilai p yang manakah persamaan ini benar? Persamaan ini ialah persamaan kuadratik tanpa sebutan x dan mudah diselesaikan:

$$\begin{array}{rcl}4p^2-36& =& 0\\ p^2-9& =& 0\\ p^2& =& 9\\ p& =& \pm 3\end{array}$$

Jika parameter p sama dengan tambah atau tolak tiga, persamaan kuadratik mempunyai dua penyelesaian yang sama (punca berulang).

Sekarang kita tentukan bilakah pembeza layan positif. Kita menyelesaikan ketaksamaan kuadratik

$$4p^2-36>0.$$

Kita sudah mengetahui punca fungsi f(p) = 4p² − 36 kerana kita telah mengiranya dalam langkah sebelumnya. Daripadanya kita bina dua selang, satu “di dalam” dan satu lagi “di luar”.

$$\begin{array}{rcl}{I}_1& =& (-\mathrm{\infty },-3)\cup (3,\mathrm{\infty })\\ I_2& =& (-3,3)\end{array}$$

Dalam salah satu selang ini, fungsi f(p) positif, dan dalam selang yang satu lagi, fungsi itu negatif. Kita tentukannya dengan menggantikan suatu titik daripada salah satu selang ke dalam fungsi. Cara paling mudah ialah menggantikan sifar daripada selang I₂. Kita memperoleh f(0) = 0 − 36 = −36. Jadi, dalam selang I₂ fungsi ini negatif, dan dalam selang I₁ fungsi ini positif.

Oleh itu, dalam selang I₁ persamaan mempunyai dua penyelesaian yang berbeza, dan dalam selang I₂ persamaan tiada penyelesaian nyata. Perhatikan graf fungsi f(p) = 4p² − 36. Fungsi ini bernilai sifar pada tambah dan tolak tiga, negatif dalam selang I₂ dan positif dalam selang I₁.

Mengira punca persamaan

Sekarang kita hanya perlu mengira penyelesaian persamaan bagi kes-kes yang mempunyai penyelesaian. Kita mulakan dengan kes persamaan mempunyai dua punca yang sama, iaitu apabila pembeza layan sama dengan sifar. Hal ini berlaku apabila parameter sama dengan tambah atau tolak punca kuasa dua bagi sembilan.

Kes pertama, p = 3. Persamaannya menjadi:

$$x^2+2\cdot 3x+9=0.$$

Kita kira pembeza layan bagi persamaan ini. Nilainya sepatutnya sifar:

$$D=b^2-4ac=6^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0.$$

Kita kira punca menggunakan rumus:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{0}}{2a}=\frac{-6}{2}=-3.$$

Kes kedua, p = −3. Persamaannya menjadi:

$$x^2-2\cdot 3x+9=0.$$

Kita kira pembeza layan:

$$D=b^2-4ac=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0.$$

Kita kira punca:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{0}}{2a}=\frac{6}{2}=3.$$

Dalam langkah terakhir, kita hanya perlu mengira penyelesaian persamaan apabila parameter terletak dalam set (−∞, −3) ∪ (3, ∞). Kita sudah mengira pembeza layan, jadi kita kira punca persamaan menggunakan rumus.

$$x_{1,2}=\frac{-2p\pm \sqrt{4p^2-36}}{2}=\frac{-2p\pm \sqrt{4(p^2-9)}}{2}=\frac{-2p\pm 2\sqrt{p^2-9}}{2}=-p\pm \sqrt{p^2-9}.$$

Pada akhirnya, kita mempermudahkan pecahan dengan membahagi dengan dua. Inilah punca-punca persamaan kuadratik apabila parameter terletak dalam selang (−∞, −3) ∪ (3, ∞). Jika parameter terletak dalam selang (−3, 3), persamaan tiada penyelesaian nyata.