Persamaan kuadratik dalam set nombor kompleks

Jika anda memperoleh pembeza layan negatif semasa menyelesaikan persamaan kuadratik, persamaan itu tiada penyelesaian dalam set nombor nyata. Namun, persamaan ini sentiasa mempunyai penyelesaian dalam set nombor kompleks.

Motivasi

Mari kita cuba menyelesaikan persamaan kuadratik berikut: x² + 2x + 5 = 0. Pertama, kita kira pembeza layan: D = 4 − 20 = −16. Seperti yang kita tahu, persamaan ini tiada penyelesaian dalam set nombor nyata. Namun, nombor kompleks mempunyai kelebihan: nombor kompleks membolehkan kita mencari punca kuasa dua bagi nombor negatif. Oleh sebab i² = −1, pembeza layan kita boleh ditulis semula dalam bentuk −16 = 16i². Punca kuasa dua bagi nombor ini boleh dicari, dan hasilnya ialah 4i. Kita kira penyelesaian persamaan kuadratik itu:

$$x_1=\frac{-2+\sqrt{16i^2}}{2}=\frac{-2+4i}{2}=\frac{2(-1+2i)}{2}=2i-1.$$

$$x_2=\frac{-2-\sqrt{16i^2}}{2}=\frac{-2-4i}{2}=\frac{2(-1-2i)}{2}=-2i-1.$$

Rumus dan hubungan

Daripada contoh tadi, kita boleh memperoleh rumus untuk mengira punca persamaan kuadratik apabila pembeza layan negatif:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{|D|}}{2a}.$$

Hal ini bermakna setiap persamaan kuadratik mempunyai penyelesaian. Jika pembeza layan bukan negatif, nombor nyata sudah mencukupi; jika pembeza layan negatif, kita perlu menyelesaikan persamaan dalam set nombor kompleks. Secara umum, kita boleh mengatakan bahawa setiap persamaan kuadratik mempunyai penyelesaian dalam set nombor kompleks.

Rumus hasil tambah dan hasil darab punca juga benar bagi punca kompleks ini. Mula-mula, kita buktikan rumus hasil tambah:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1+x_2& =& \frac{-b+i\sqrt{|D|}}{2a}+\frac{-b-i\sqrt{|D|}}{2a}\\ & =& \frac{-b+i\sqrt{|D|}-b-i\sqrt{|D|}}{2a}\\ & =& \frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}\end{array}$$

Seterusnya, rumus hasil darab. Kita gunakan hakikat bahawa pembeza layan negatif. Oleh sebab kita perlu mencari punca kuasa duanya, kita gunakan negatif D, yang merupakan nombor positif. Jadi, sebagai ganti |D| kita tulis −D; hasilnya sama.

$$\begin{array}{rcl}{x}_1\cdot x_2& =& \frac{-b+i\sqrt{-D}}{2a}\cdot \frac{-b-i\sqrt{-D}}{2a}\\ & =& \frac{b^2+b\cdot i\sqrt{-D}-b\cdot i\sqrt{-D}-(-D)i^2}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2+D{i}^2}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2-D}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\ & =& \frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\end{array}$$

Contoh

Selesaikan persamaan kuadratik 2x² + 6x + 9 = 0. Kita kira pembeza layan: D = 36 − 72 = −36. Nilainya negatif, jadi kita gunakan rumus bagi punca kompleks dan hanya perlu menggantikan nilainya:

$$x_1=\frac{-b+i\sqrt{|D|}}{2a}=\frac{-6+i\sqrt{36}}{4}=\frac{-6+6i}{4}=\frac{3(i-1)}{2}=-\frac{3}{2}+\frac{3i}{2}$$

$$x_2=\frac{-b-i\sqrt{|D|}}{2a}=\dots =-\frac{3}{2}-\frac{3i}{2}$$