Dạng lượng giác của số phức

Không phải lúc nào viết số phức ở dạng đại số cũng thuận tiện, vì vậy người ta đưa vào thêm dạng lượng giác của số phức.

Có thể xác định một điểm trên mặt phẳng bằng cách nào?

Ta biết rằng trong biểu diễn hình học, số phức z = x + yi ứng với một điểm trên mặt phẳng phức. Điểm này có toạ độ (x; y). Ngoài cách cho toạ độ (x; y), còn có thể xác định điểm z bằng cách nào khác?

Có thể tính góc tạo bởi đoạn thẳng nối điểm z với gốc toạ độ và trục x (chính xác hơn là chiều dương của trục này). Khi đó ta biết điểm z nằm theo hướng nào tính từ gốc toạ độ. Để biết chính xác vị trí của điểm, cần biết thêm khoảng cách từ điểm đó đến gốc toạ độ. Với hai thông tin này, ta xác định được chính xác điểm z trên mặt phẳng phức.

Dạng lượng giác

Hình sau tóm tắt những gì cần biết để viết số phức ở dạng lượng giác:

Như trên hình, cần biết độ dài đoạn thẳng nối điểm z với gốc toạ độ, tức là môđun của số z (cách tính đã biết). Ngoài ra cần biết góc φ; góc này gọi là acgumen của số phức. Dạng lượng giác của số phức như sau:

$$z=|z|(\cos \phi +i\sin \phi )$$

Làm thế nào để tìm góc φ? Ta dùng các hàm số lượng giác. Trên hình có một tam giác vuông với cạnh huyền đã biết, đó là môđun của số z. Dạng lượng giác chứa cả sin lẫn côsin, nên phải biểu diễn góc φ qua cả hai hàm số này. Theo định nghĩa của các tỉ số lượng giác, ta có:

$$\begin{array}{rcl}\sin \phi & =& \frac{y}{|z|}\\ \cos \phi & =& \frac{x}{|z|}\end{array}$$

Từ các công thức này có thể tìm ra góc φ. Cần tìm chính góc đó, vì dạng lượng giác được viết với sin và côsin của góc này.

Ví dụ

Viết số phức sau ở dạng lượng giác: $z=\sqrt{3}+i$. Trước hết, tính môđun của số z:

$$|z|=\sqrt{3+1}=2$$

Khi đó:

$$\begin{array}{rcl}\sin \phi & =& \frac{1}{2}\\ \cos \phi & =& \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}$$

Đến đây có thể dùng máy tính bỏ túi để tính arcsin và arccos, hoặc dùng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt. Cả hai giá trị vừa tìm được đều có trong bảng, nên lần này không cần dùng máy tính.

Nếu $\sin \phi =\frac{1}{2}$ thì góc φ bằng π/6 hoặc 5π/6. Nếu $\cos \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$ thì góc φ bằng π/6 hoặc 11π/6. Giá trị chung của hai trường hợp là góc π/6; với góc này ta được đúng các giá trị đã viết ở trên.

Phép nhân và phép chia

Tất nhiên, có thể nhân và chia các số phức ở dạng lượng giác. Từ các công thức cộng có thể suy ra công thức tính tích và thương của hai số phức. Xét hai số phức z₁ và z₂:

$$\begin{array}{rcl}{z}_1& =& |z_1|(\cos {\phi }_1+i\sin {\phi }_1)\\ z_2& =& |z_2|(\cos {\phi }_2+i\sin {\phi }_2)\end{array}$$

Các công thức như sau:

$$\begin{array}{rcl}{z}_1\cdot z_2& =& |z_1|\cdot |z_2|[\cos ({\phi }_1+{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1+{\phi }_2)]\\ \frac{z_1}{z_2}& =& \frac{|z_1|}{|z_2|}[\cos ({\phi }_1-{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1-{\phi }_2)]\end{array}$$