Biểu diễn hình học của số phức

Số phức có thể biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ Oxy quen thuộc. Mặt phẳng dùng để biểu diễn số phức gọi là mặt phẳng phức, hay còn gọi là mặt phẳng Gauss.

Biểu diễn trên mặt phẳng phức

Mỗi số phức z = x + yi được biểu diễn trên mặt phẳng bằng điểm có toạ độ (x; y). Trên mặt phẳng phức, trục x gọi là trục thực, còn trục y gọi là trục ảo. Chẳng hạn, xét hai số phức z₁ = 2 + 5i và z₂ = 4 − 3i. Trên mặt phẳng phức, chúng được biểu diễn như sau:

Số đối và số phức liên hợp

Trên mặt phẳng phức có thể dễ dàng biểu diễn số đối và số phức liên hợp. Xét số phức z = 3 + 5i. Số đối của z có dạng −3 − 5i; hai điểm biểu diễn đối xứng nhau qua gốc toạ độ:

Số phức liên hợp chỉ khác số ban đầu ở dấu của phần ảo, nên điểm biểu diễn số phức liên hợp đối xứng với điểm biểu diễn số ban đầu qua trục thực (trục x). Xem hình ($\bar{z}$ là số phức liên hợp):

Môđun

Trên tập số thực, giá trị tuyệt đối của một số là số đó bỏ đi dấu trừ. Với số phức, đại lượng tương ứng là môđun, và cách tính phức tạp hơn một chút. Môđun của số phức chính là khoảng cách từ điểm biểu diễn số đó trên mặt phẳng phức đến gốc toạ độ.

Khoảng cách đến gốc toạ độ có thể tính bằng định lí Pythagore: |z|² = x² + y², trong đó x và y là phần thực và phần ảo của số phức. Khai căn hai vế, ta được môđun của số z = x + yi:

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$$