Еквивалентни преобразувания на неравенства

При преобразуванията на неравенства използваме еквивалентни преобразувания, които се отличават с това, че не променят валидността на неравенството. Смисълът на еквивалентните преобразувания е да приведем неравенството в по-прост вид, от който вече можем да пресметнем резултата.

Какво е неравенство

Дадени са две функции f(x) и g(x). Под неравенство разбираме изрази от един от следните видове:

$$\begin{array}{rcl}f(x)<g(x),& & f(x)>g(x)\\ f(x)\le g(x),& & f(x)\ge g(x)\end{array}$$

Решение на неравенството са всички x от (обикновено) множеството на реалните числа, за които неравенството е изпълнено. Пример за неравенство: 6x<12. Тук f(x) = 6x и g(x) = 12. 6x е лявата страна на неравенството, 12 е дясната страна. Решение на това неравенство са всички x, които са по-малки от две: x<2. Т.е. интервалът (−∞; 2).

Размяна на страните със смяна на знака

При уравненията можехме без опасения да разменим дясната и лявата страна. При неравенствата не можем да го направим. Например имаме неравенството x<5, тогава не може едновременно да е в сила 5 < x. В първия случай x е по-малко от пет, във втория x е по-голямо от пет. Но ако едновременно с размяната на страните сменим и знака на неравенството, вече ще става дума за еквивалентно преобразувание.

Ако имаме неравенството f(x) < g(x), можем да напишем и g(x) > f(x). Разменихме страните, но същевременно вместо < написахме >. По подобен начин за по-малко или равно: неравенството f(x) ≤ g(x) можем да преобразуваме в g(x) ≥ f(x).

Прибавяне на израз

Към неравенството можем да прибавим число или функция, която е дефинирана в същото множество, в което решаваме неравенството. Пример: имаме неравенството x>0. Към него можем да прибавим например числото три. Получаваме неравенството x + 3>3. Това е логично.

По подобен начин можем да прибавим цяла функция. Ако имаме неравенството x > −3x + 7, можем да прибавим към него 3x и получаваме:

$$\begin{array}{rcl}x& >& -3x+7/+3x\\ x+3x& >& -3x+3x+7\\ 4x& >& 7\end{array}$$

Изразът, разбира се, можем и да изваждаме – т.е. можем да прибавим отрицателно число.

Умножение на неравенство с положителен израз

Неравенството вече не можем просто така да умножим с някакъв израз, както можехме при уравненията. Ако умножаваме по израз, който винаги е положителен, всичко е наред. Но ако умножаваме по отрицателен израз, трябва да сменим знака (вж. следващия раздел). Разбира се, както при уравненията, не бива да умножаваме по нулев израз!

Какво означава винаги положителен израз? Най-простият израз, който винаги е положителен, е положителното число. Значи ако имаме неравенството x>2, можем да го умножим по десет, което е положително число, и валидността на неравенството не се променя. Получаваме неравенството 10x>20. Разбира се, можем да делим и на положително число, така че от това преобразувано неравенство, като разделим на пет, получаваме неравенството 2x>4.

Не можем обаче просто да умножим неравенството по променливата x, защото в общия случай променливата x може да приема както положителни, така и отрицателни стойности и това е недопустимо. Има обаче ситуации, в които x винаги ще бъде положително. Например ако решаваме някаква геометрична задача, възможно е променливата x да представлява дължината на някаква отсечка. Дължината не може да бъде отрицателна (най-много да е нула), така че ако знаем, че x ще бъде равно на дължината на някаква отсечка, можем да умножим неравенството по променливата x.

Друг винаги неотрицателен израз е квадратът. Ако повдигнеш някакво число на квадрат, то ще бъде положително (или нула). Значи ако имаме неравенството

$$\frac{1}{x^2}>2,$$

можем да го умножим по израза x². Получаваме: 1>2x². Разбира се, при условие че x не е равно на нула. Има още функции, които са винаги положителни. Например тригонометричните функции синус и косинус имат за свое множество от стойности множеството [−1; 1]. То не е винаги положително. Но ако прибавим към тях числото 2, получаваме множество от стойности [1; 3], което вече е положителен интервал. С такава функция бихме могли да умножаваме неравенството. Значи ако имаме неравенството

$$\frac{x+3}{\cos (x)+3}\le 3x-5,$$

можем да го умножим изцяло по израза cos(x) + 3, защото това е винаги положителна функция. Получаваме:

$$x+3\le (3x-5)(\cos (x)+3).$$

Умножение на неравенство с винаги отрицателен израз

С отрицателните числа и изрази ситуацията вече е по-сложна. Разгледай примера: 1<2. Това неравенство със сигурност е в сила. Какво ще стане, ако умножим цялото неравенство по минус едно? Получаваме −1<−2. В сила ли е това неравенство? Не е, минус две е по-малко от минус едно. Умножението с отрицателно число очевидно не е еквивалентно преобразувание на неравенство.

Но ако при умножението по отрицателно число в неравенството едновременно сменим знака на неравенството, това вече ще бъде еквивалентно преобразувание. Ако умножим неравенството 1<2 по −1 и същевременно вместо < напишем >, извършваме еквивалентно преобразувание и получаваме неравенството −1>−2.

Умножението с отрицателни числа е просто, по-лошо е положението при умножение по изрази (функции). Защо не можем да умножим неравенството по променливата x? Защото ако променливата приема положителни стойности, знакът не би се променил. Ако приема отрицателни стойности, трябва да сменим знака. В общия случай могат да настъпят и двата случая, ако x не е по никакъв начин ограничено, променливата може да бъде както отрицателна, така и положителна. Пример:

$$\frac{1}{x}>1$$

Грешен подход би бил да умножим неравенството по променливата x. Получаваме 1>x, т.е. решение са всички x, които са по-малки от едно (разбира се, още при условие че x е различно от нула). Но какво става, ако в първоначалното неравенство заместим x с числото −1? Получаваме:

$$\begin{array}{rcl}\frac{1}{-1}& >& 1\\ -1& >& 1\end{array}$$

което със сигурност не е вярно. Затова не можем просто така да умножим неравенството по променливата x.

Но както в предишния раздел имахме изрази, които са винаги положителни, можем да имаме и изрази, които са винаги отрицателни. Най-лесно ги получаваме, като поставим минус пред винаги положителен израз. В предишния раздел видяхме, че функцията cos(x) + 3 е винаги положителна. Ако поставим минус пред целия израз, получаваме винаги отрицателната функция −(cos(x) + 3).

Повдигане на степен и коренуване на неравенство с естествен показател

Повдигането на степен на неравенство в общия случай не е еквивалентно преобразувание, подобно на уравненията. Разгледай следното неравенство: x>−2. Какво ще стане, ако го повдигнем на квадрат? Получаваме: x²>4. Еквивалентно ли е това неравенство? Какво става, ако заместим x с нула и в двете неравенства? В първия случай имаме 0>−2, което е вярно. Във втория случай имаме 0>4, което не е вярно. Значи не извършихме еквивалентно преобразувание.

Кога можем да повдигнем неравенството на степен с естествен показател? Когато и двете страни са неотрицателни (положителни или нула). Тогава всичко е наред. Ето пример:

$$\begin{array}{rcl}5& >& 2{/}^2\\ 25& >& 4\end{array}$$

Друг пример е абсолютната стойност, която ни връща неотрицателно число. Значи това неравенство можем без опасения да повдигнем на квадрат:

$$\begin{array}{rcl}|x|& <& 3{/}^2\\ |x{|}^2& <& 9\end{array}$$

Съвсем както степента се държи и коренът. Ако и двете страни са неотрицателни, можем да коренуваме неравенството с естествен коренен показател. Значи предишното неравенство можем спокойно да върнем обратно към първоначалния му вид:

$$\begin{array}{rcl}|x{|}^2& <& 9/\sqrt{}\\ |x|& <& 3\end{array}$$

Премахване на ненужни изрази

Често решаваме неравенство във вида f(x)>0. В такъв случай се случва функцията f да е сложна и да може да се опрости чрез изпускане на някои изрази. Разгледай следното неравенство: 2x>0. Това неравенство очевидно има решение, когато x>0. Ако x е отрицателно, то и 2x е отрицателно. Ако умножим отрицателно число по две, числото си остава отрицателно. Двойката не може при умножението да смени знака на израза след нея.

Можем да опитаме да решим и неравенствата 5x>0, 157x>0 и π x>0. Във всички случаи решението ще е същото, x>0. Положителният коефициент пред x по никакъв начин не променя валидността на неравенството.

Формално се освобождаваме от тези коефициенти, като разделим неравенството на съответния коефициент, така:

$$\begin{array}{rcl}2x& >& 0/:2\\ x& >& 0\end{array}$$

Внимавай: за да можем да премахнем положителен коефициент, да го означим с a, той непременно трябва да умножава цялата лява страна. Не можем да премахнем двойката от това неравенство: 2x + 7>0, защото двойката не умножава цялата лява страна. Можем обаче да разделим цялото неравенство на две и получаваме неравенството x + 3,5>0.

Подобен е и този пример:

$$x^2\cdot (x-3)>0$$

Може би изглежда сложно, но изразът x² е винаги неотрицателен, така че няма да ни промени знака на следващата скоба. Затова можем да премахнем този израз от неравенството – разделяме неравенството на x² и получаваме:

$$x-3>0$$

Само трябва да добавим условието x² ≠ 0, защото не можем да делим на нула. Но x² е нула само когато x е нула, а за x = 0 неравенството не е изпълнено. Получаваме (x = 0): 0(0 − 3)>0, а 0>0 не е вярно.

Това не е някакъв допълнителен метод, а само умело приложение на предишната точка за умножение и деление на положителен израз.