Divisibilité par 11

Comment savoir qu’un entier relatif est divisible par 11 ? Avec une somme des chiffres un peu modifiée. Par somme des chiffres, on entend d’ordinaire la somme des chiffres du nombre. Par exemple, le nombre 8 261 a pour somme des chiffres 8 + 2 + 6 + 1 = 17. Cette somme des chiffres nous aiderait à savoir si le nombre est divisible par 3, mais pour la divisibilité par 11, il faut encore modifier la somme.

Au lieu d’additionner tous les chiffres, on alterne additions et soustractions, ainsi :

$$8-2+6-1=11$$

On commence par additionner, puis on soustrait, etc. Si on obtient un nombre divisible par 11, le nombre de départ est lui aussi divisible par 11. Ici, la somme alternée vaut 11, donc 8 261 est divisible par 11. Attention : la somme peut valoir zéro ; dans ce cas, le nombre est divisible par 11. Par exemple, le nombre 132 a pour somme 1 − 3 + 2 = 0, donc il est divisible par 11.

De même, la somme alternée peut être négative : par exemple, 1 727 a pour somme 1 − 7 + 2 − 7 = −11. Or −11 est divisible par 11, donc 1 727 l’est aussi.

Pour être complet, voici un exemple de nombre qui n’est pas divisible par 11 : 500, dont la somme alternée est 5, qui n’est pas divisible par 11.