Bentuk trigonometri bilangan kompleks

Bilangan kompleks tidak selalu paling praktis ditulis dalam bentuk aljabar. Karena itu, dikenal pula bentuk trigonometri (bentuk polar) bilangan kompleks.

Bagaimana cara menyatakan titik pada bidang?

Kita tahu bahwa dalam representasi geometris, bilangan kompleks z = x + yi menyatakan sebuah titik pada bidang kompleks. Titik ini memiliki koordinat (x, y). Dengan cara apa lagi titik z dapat ditentukan, selain dengan menuliskan koordinatnya (x, y)?

Kita dapat menghitung sudut yang dibentuk oleh ruas garis yang menghubungkan titik z dengan titik asal terhadap sumbu x (tepatnya terhadap bagian positifnya). Dengan begitu, kita tahu ke arah mana titik z terletak jika dilihat dari titik asal. Untuk mengetahui letaknya secara tepat, kita juga perlu mengetahui jaraknya dari titik asal. Dengan kedua data ini, titik z pada bidang kompleks sudah dapat ditentukan secara tepat.

Bentuk trigonometri

Gambar berikut merangkum semua yang perlu kita ketahui untuk menyatakan bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri:

Seperti terlihat pada gambar, kita perlu mengetahui panjang ruas garis dari titik z ke titik asal. Panjang ini sama dengan modulus bilangan z, dan cara menghitungnya sudah kita ketahui. Selain itu, kita perlu mengetahui sudut φ. Bentuk trigonometri bilangan kompleks adalah sebagai berikut:

$$z=|z|(\cos \phi +i\sin \phi )$$

Bagaimana cara menentukan sudut φ? Kita menggunakan fungsi trigonometri. Pada gambar terdapat segitiga siku-siku, dan panjang sisi miringnya kita ketahui, yaitu modulus bilangan z. Dalam bentuk trigonometri terdapat sinus dan kosinus, jadi sudut φ harus kita nyatakan dengan kedua fungsi tersebut. Dari sifat-sifat fungsi trigonometri, berlaku:

$$\begin{array}{rcl}\sin \phi & =& \frac{y}{|z|}\\ \cos \phi & =& \frac{x}{|z|}\end{array}$$

Dari rumus-rumus ini, sudut φ dapat ditentukan. Sudut ini harus ditentukan karena bentuk trigonometri ditulis dengan sinus dan kosinus sudut tersebut.

Contoh

Ubahlah bilangan kompleks dalam bentuk aljabar berikut ke bentuk trigonometri: $z=\sqrt{3}+i$. Pertama, kita hitung modulus bilangan z:

$$|z|=\sqrt{3+1}=2$$

Sekarang berlaku:

$$\begin{array}{rcl}\sin \phi & =& \frac{1}{2}\\ \cos \phi & =& \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}$$

Pada tahap ini, kita bisa memakai kalkulator untuk menghitung invers sinus dan invers kosinus, atau memakai tabel nilai trigonometri sudut istimewa. Kedua nilai yang kita peroleh terdapat dalam tabel, jadi kali ini kalkulator tidak diperlukan.

Jika $\sin \phi =\frac{1}{2}$, sudut φ sama dengan π/6 atau 5π/6. Jika $\cos \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$, sudut φ sama dengan π/6 atau 11π/6. Irisan kedua kemungkinan ini adalah sudut π/6. Dengan sudut ini, kita memperoleh nilai-nilai yang ditulis pada persamaan sebelumnya.

Perkalian dan pembagian

Bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri tentu saja dapat dikalikan dan dibagi. Dengan rumus jumlah dan selisih dua sudut, dapat diturunkan rumus hasil kali dan hasil bagi dua bilangan kompleks. Misalkan ada dua bilangan kompleks z₁ dan z₂:

$$\begin{array}{rcl}{z}_1& =& |z_1|(\cos {\phi }_1+i\sin {\phi }_1)\\ z_2& =& |z_2|(\cos {\phi }_2+i\sin {\phi }_2)\end{array}$$

Rumus-rumusnya sebagai berikut:

$$\begin{array}{rcl}{z}_1\cdot z_2& =& |z_1|\cdot |z_2|[\cos ({\phi }_1+{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1+{\phi }_2)]\\ \frac{z_1}{z_2}& =& \frac{|z_1|}{|z_2|}[\cos ({\phi }_1-{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1-{\phi }_2)]\end{array}$$