Phép biến đổi tương đương bất phương trình

Khi biến đổi bất phương trình, ta dùng các phép biến đổi tương đương, tức là các phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của bất phương trình. Mục đích của chúng là đưa bất phương trình về một dạng đơn giản hơn, từ đó có thể tìm ra nghiệm.

Bất phương trình là gì

Cho hai hàm số f(x) và g(x). Bất phương trình là biểu thức có một trong các dạng sau:

$$\begin{array}{rcl}f(x)<g(x),& & f(x)>g(x)\\ f(x)\le g(x),& & f(x)\ge g(x)\end{array}$$

Nghiệm của bất phương trình là tất cả các giá trị x (thường thuộc tập số thực) làm cho bất phương trình đúng. Ví dụ bất phương trình: 6x<12. Ở đây f(x) = 6x và g(x) = 12; 6x là vế trái, 12 là vế phải của bất phương trình. Nghiệm của bất phương trình này là mọi x nhỏ hơn 2: x<2, tức là khoảng (−∞; 2).

Đổi vế kèm đổi chiều bất đẳng thức

Với phương trình, ta có thể yên tâm đổi vế phải và vế trái cho nhau. Với bất phương trình thì không được làm như vậy. Chẳng hạn, với bất phương trình x<5, không thể đồng thời có 5 < x. Trường hợp thứ nhất x nhỏ hơn 5, trường hợp thứ hai x lớn hơn 5. Tuy nhiên, nếu khi đổi vế ta đồng thời đổi chiều bất đẳng thức thì đó là phép biến đổi tương đương.

Như vậy, với bất phương trình f(x) < g(x), ta cũng có thể viết g(x) > f(x). Ta đã đổi vế, đồng thời thay < bằng >. Tương tự với dấu nhỏ hơn hoặc bằng: bất phương trình f(x) ≤ g(x) có thể biến đổi thành g(x) ≥ f(x).

Cộng hai vế với cùng một biểu thức

Có thể cộng vào hai vế của bất phương trình một số hoặc một hàm số xác định trên cùng tập hợp mà ta giải bất phương trình. Ví dụ: cho bất phương trình x>0. Có thể cộng vào hai vế chẳng hạn số 3. Ta được bất phương trình x + 3>3. Điều này hợp lí.

Tương tự, có thể cộng cả một hàm số. Với bất phương trình x > −3x + 7, cộng 3x vào hai vế ta được:

$$\begin{array}{rcl}x& >& -3x+7/+3x\\ x+3x& >& -3x+3x+7\\ 4x& >& 7\end{array}$$

Tất nhiên cũng có thể trừ hai vế cho một biểu thức, tức là cộng một số âm.

Nhân hai vế với biểu thức dương

Với bất phương trình, không thể tuỳ tiện nhân hai vế với một biểu thức như với phương trình. Nếu nhân với biểu thức luôn dương thì không có vấn đề gì. Nhưng nếu nhân với biểu thức âm thì phải đổi chiều bất đẳng thức (xem mục sau). Tất nhiên, giống như với phương trình, không được nhân với biểu thức bằng 0!

Biểu thức luôn dương là gì? Biểu thức luôn dương đơn giản nhất là một số dương. Như vậy, với bất phương trình x>2, có thể nhân hai vế với 10, là một số dương, và tập nghiệm của bất phương trình không thay đổi. Ta được bất phương trình 10x>20. Tất nhiên cũng có thể chia cho một số dương, nên từ bất phương trình vừa được, chia hai vế cho 5 ta có bất phương trình 2x>4.

Tuy nhiên, không thể tuỳ tiện nhân hai vế với biến x, vì nói chung biến x có thể nhận cả giá trị dương lẫn giá trị âm, và điều đó không được phép. Nhưng có những trường hợp x luôn dương. Chẳng hạn, trong một bài toán hình học, biến x có thể biểu thị độ dài của một đoạn thẳng. Độ dài không thể âm (cùng lắm bằng 0), nên nếu biết x là độ dài của một đoạn thẳng thì có thể nhân hai vế với x.

Một biểu thức luôn không âm khác là bình phương. Bình phương của một số luôn dương (hoặc bằng 0). Như vậy, với bất phương trình

$$\frac{1}{x^2}>2,$$

có thể nhân hai vế với x². Ta được: 1>2x², tất nhiên với điều kiện x khác 0. Còn nhiều hàm số luôn dương khác. Chẳng hạn, các hàm số lượng giác sin và côsin có tập giá trị là [−1; 1]. Các giá trị này không phải lúc nào cũng dương. Nhưng nếu cộng thêm 2 thì tập giá trị là [1; 3], một đoạn chỉ gồm các số dương. Có thể nhân hai vế của bất phương trình với hàm số như vậy. Chẳng hạn, với bất phương trình

$$\frac{x+3}{\cos (x)+3}\le 3x-5,$$

có thể nhân hai vế với cos(x) + 3, vì đây là hàm số luôn dương. Ta được:

$$x+3\le (3x-5)(\cos (x)+3).$$

Nhân hai vế với biểu thức luôn âm

Với các số và biểu thức âm, tình hình phức tạp hơn. Xét ví dụ: 1<2. Bất đẳng thức này chắc chắn đúng. Nếu nhân hai vế với −1 thì sao? Ta được −1<−2. Bất đẳng thức này có đúng không? Không, −2 nhỏ hơn −1. Rõ ràng phép nhân với số âm không phải là phép biến đổi tương đương của bất phương trình.

Tuy nhiên, nếu khi nhân với số âm ta đồng thời đổi chiều bất đẳng thức thì đó là phép biến đổi tương đương. Nếu nhân hai vế của bất đẳng thức 1<2 với −1 và đồng thời thay < bằng >, ta thực hiện một phép biến đổi tương đương và được −1>−2.

Nhân với số âm thì đơn giản; nhân với biểu thức (hàm số) thì khó hơn. Vì sao không được nhân hai vế của bất phương trình với biến x? Vì nếu biến nhận giá trị dương thì không đổi chiều, còn nếu nhận giá trị âm thì phải đổi chiều. Nói chung có thể xảy ra cả hai trường hợp: nếu x không bị hạn chế gì thì nó có thể âm hoặc dương. Ví dụ:

$$\frac{1}{x}>1$$

Cách làm sai là nhân hai vế với x. Khi đó ta được 1>x, tức là nghiệm là mọi x nhỏ hơn 1 (tất nhiên kèm điều kiện x khác 0). Nhưng nếu thay x bằng số −1 vào bất phương trình ban đầu thì sao? Ta có:

$$\begin{array}{rcl}\frac{1}{-1}& >& 1\\ -1& >& 1\end{array}$$

điều này chắc chắn sai. Vì vậy không thể tuỳ tiện nhân hai vế với x.

Tuy nhiên, giống như ở mục trước có những biểu thức luôn dương, cũng có những biểu thức luôn âm. Cách đơn giản nhất là đặt dấu trừ trước một biểu thức luôn dương. Ở mục trước ta đã thấy hàm số cos(x) + 3 luôn dương. Đặt dấu trừ trước cả biểu thức, ta được một hàm số luôn âm: −(cos(x) + 3).

Nâng lên luỹ thừa và khai căn với số mũ nguyên dương

Nói chung, nâng hai vế của bất phương trình lên luỹ thừa không phải là phép biến đổi tương đương, giống như với phương trình. Xét bất phương trình sau: x>−2. Nếu bình phương hai vế thì sao? Ta được: x²>4. Đây có phải là bất phương trình tương đương không? Điều gì xảy ra nếu thay x bằng 0 vào cả hai bất phương trình? Trường hợp thứ nhất ta có 0>−2, đúng. Trường hợp thứ hai ta có 0>4, sai. Vậy ta đã không thực hiện phép biến đổi tương đương.

Khi nào có thể nâng hai vế của bất phương trình lên luỹ thừa với số mũ nguyên dương? Khi cả hai vế đều không âm (dương hoặc bằng 0). Khi đó không có vấn đề gì. Ví dụ:

$$\begin{array}{rcl}5& >& 2{/}^2\\ 25& >& 4\end{array}$$

Một ví dụ khác là giá trị tuyệt đối, luôn cho kết quả là số không âm. Vì vậy có thể yên tâm bình phương hai vế của bất phương trình sau:

$$\begin{array}{rcl}|x|& <& 3{/}^2\\ |x{|}^2& <& 9\end{array}$$

Căn thức cũng hoạt động hoàn toàn giống như luỹ thừa. Nếu cả hai vế đều không âm thì có thể khai căn hai vế với chỉ số căn nguyên dương. Như vậy, bất phương trình trên lại có thể khai căn để trở về dạng ban đầu:

$$\begin{array}{rcl}|x{|}^2& <& 9/\sqrt{}\\ |x|& <& 3\end{array}$$

Bỏ đi các thừa số không cần thiết

Ta thường giải bất phương trình có dạng f(x)>0. Khi đó, hàm số f có thể phức tạp và có thể đơn giản hoá bằng cách bỏ đi một số biểu thức. Xét bất phương trình sau: 2x>0. Rõ ràng bất phương trình này đúng khi x>0. Nếu x âm thì 2x cũng âm: nhân một số âm với 2 thì kết quả vẫn âm. Số 2 không thể làm đổi dấu của biểu thức mà nó nhân vào.

Có thể thử giải thêm các bất phương trình 5x>0, 157x>0 và π x>0. Trong mọi trường hợp, nghiệm đều như nhau: x>0. Hệ số dương đứng trước x không làm thay đổi tập nghiệm của bất phương trình.

Về mặt hình thức, ta bỏ các hệ số này bằng cách chia hai vế của bất phương trình cho hệ số đó, như sau:

$$\begin{array}{rcl}2x& >& 0/:2\\ x& >& 0\end{array}$$

Lưu ý: để bỏ được một hệ số dương, kí hiệu là a, thì hệ số đó phải nhân với toàn bộ vế trái. Không thể bỏ số 2 khỏi bất phương trình 2x + 7>0, vì số 2 không nhân với toàn bộ vế trái. Nhưng có thể chia hai vế của bất phương trình cho 2 và được bất phương trình x + 3,5>0.

Tương tự với ví dụ sau:

$$x^2\cdot (x-3)>0$$

Trông có vẻ phức tạp, nhưng biểu thức x² luôn không âm, nên không làm thay đổi dấu của biểu thức trong ngoặc. Do đó có thể bỏ biểu thức này khỏi bất phương trình: chia hai vế cho x², ta được:

$$x-3>0$$

Chỉ cần thêm điều kiện x² ≠ 0, vì không thể chia cho 0. Tuy nhiên, x² chỉ bằng 0 khi x bằng 0, và với x = 0 bất đẳng thức không đúng. Thật vậy, ta có (x = 0): 0(0 − 3)>0, mà 0>0 là sai.

Đây không phải là một phương pháp đặc biệt nào, mà chỉ là một cách áp dụng khéo léo phép nhân và chia cho biểu thức dương ở trên.