부등식의 성질과 부등식의 변형

부등식을 풀 때는 부등식의 해를 바꾸지 않는 변형(동치 변형)을 쓴다. 이런 변형의 목적은 부등식을 더 간단한 꼴로 바꾸어 답을 구할 수 있게 하는 것이다.

부등식이란

두 함수 f(x)와 g(x)가 있다고 하자. 부등식은 다음 꼴 가운데 하나인 식이다.

$$\begin{array}{rcl}f(x)<g(x),& & f(x)>g(x)\\ f(x)\le g(x),& & f(x)\ge g(x)\end{array}$$

부등식의 해는 (보통) 실수 가운데 부등식을 만족하는 모든 x이다. 부등식의 예로 6x<12가 있다. 여기서 f(x) = 6x, g(x) = 12이다. 6x는 부등식의 좌변, 12는 우변이다. 이 부등식의 해는 2보다 작은 모든 x, 즉 x<2이다. 구간으로는 (−∞, 2)이다.

부등호의 방향을 바꾸며 양변 바꾸기

방정식에서는 좌변과 우변을 마음대로 바꿀 수 있었다. 부등식에서는 그렇게 할 수 없다. 예를 들어 부등식 x<5가 있으면 동시에 5 < x가 성립할 수는 없다. 첫 번째는 x가 5보다 작다는 것이고 두 번째는 x가 5보다 크다는 것이다. 하지만 양변을 바꾸면서 부등호의 방향도 바꾸면 동치 변형이 된다.

그래서 부등식 f(x) < g(x)는 g(x) > f(x)로도 쓸 수 있다. 양변을 바꾸면서 < 대신 >를 썼다. 등호가 들어 있는 부등호도 마찬가지이다. 부등식 f(x) ≤ g(x)는 g(x) ≥ f(x)로 바꿀 수 있다.

양변에 식 더하기

부등식을 푸는 범위에서 정의된 수나 함수는 양변에 더할 수 있다. 예: 부등식 x>0이 있다. 이 부등식의 양변에 예를 들어 3을 더할 수 있다. 부등식 x + 3>3을 얻는다. 당연한 일이다.

마찬가지로 함수도 더할 수 있다. 부등식 x > −3x + 7이 있으면 양변에 3x를 더해 다음을 얻는다.

$$\begin{array}{rcl}x& >& -3x+7/+3x\\ x+3x& >& -3x+3x+7\\ 4x& >& 7\end{array}$$

물론 식을 뺄 수도 있다. 음수를 더한다고 생각해도 된다.

양수인 식 곱하기

부등식에서는 방정식처럼 아무 식이나 곱할 수 없다. 언제나 양수인 식을 곱하는 것은 괜찮다. 하지만 음수인 식을 곱하면 부등호의 방향을 바꿔야 한다(다음 절 참고). 물론 방정식과 마찬가지로 0인 식을 곱해서는 안 된다!

언제나 양수인 식이란 무엇일까? 가장 간단한 것은 양수이다. 부등식 x>2가 있으면 양변에 양수 10을 곱해도 부등식의 해는 바뀌지 않는다. 부등식 10x>20을 얻는다. 물론 양수로 나눌 수도 있으므로 이 부등식을 5로 나누어 부등식 2x>4를 얻을 수 있다.

하지만 부등식에 변수 x를 그냥 곱할 수는 없다. 일반적으로 변수 x는 양수일 수도 음수일 수도 있기 때문이다. 그런데 x가 언제나 양수인 경우도 있다. 예를 들어 도형 문제에서는 변수 x가 어떤 선분의 길이를 나타낼 수 있다. 길이는 음수가 될 수 없으므로(기껏해야 0이다), x가 어떤 선분의 길이라는 것을 알면 부등식에 x를 곱할 수 있다.

언제나 음이 아닌 식의 또 다른 예는 제곱이다. 어떤 수를 제곱하면 양수(또는 0)가 된다. 그래서 다음 부등식이 있으면

$$\frac{1}{x^2}>2,$$

양변에 식 x²을 곱할 수 있다. 그러면 1>2x²을 얻는다. 물론 x가 0이 아니라는 조건이 붙는다. 언제나 양수인 함수는 이 밖에도 많다. 삼각함수 사인과 코사인의 치역은 집합 [−1, 1]이다. 이 범위의 값이 언제나 양수인 것은 아니다. 하지만 여기에 2를 더하면 치역은 [1, 3]이 되고, 이 구간의 값은 모두 양수이다. 이런 함수는 부등식에 곱할 수 있다. 그래서 다음 부등식이 있으면

$$\frac{x+3}{\cos (x)+3}\le 3x-5,$$

양변에 언제나 양수인 함수 cos(x) + 3을 곱할 수 있다. 그러면 다음을 얻는다.

$$x+3\le (3x-5)(\cos (x)+3).$$

언제나 음수인 식 곱하기

음수나 음수인 식을 곱할 때는 사정이 더 복잡하다. 다음 예를 보자. 1<2이다. 이 부등식은 분명히 성립한다. 부등식 전체에 −1을 곱하면 어떻게 될까? −1<−2를 얻는다. 이 부등식은 성립할까? 성립하지 않는다. −2는 −1보다 작다. 분명히 음수를 곱하는 것은 부등식의 동치 변형이 아니다.

하지만 음수를 곱하면서 동시에 부등호의 방향을 바꾸면 동치 변형이 된다. 부등식 1<2에 −1을 곱하면서 < 대신 >를 쓰면 동치 변형이 되어 부등식 −1>−2를 얻는다.

음수를 곱하는 것은 간단하지만, 식(함수)을 곱할 때는 더 어렵다. 왜 부등식에 변수 x를 곱할 수 없을까? 변수가 양수이면 부등호의 방향이 바뀌지 않고, 음수이면 바뀌어야 하기 때문이다. x에 아무 제한이 없으면 일반적으로 두 경우가 모두 생길 수 있다. 예를 보자.

$$\frac{1}{x}>1$$

이 부등식에 변수 x를 곱하는 것은 틀린 방법이다. 그러면 1>x, 즉 1보다 작은 모든 x가 해가 된다(물론 x가 0이 아니라는 조건이 있다). 그런데 원래 부등식의 x에 −1을 넣으면 어떻게 될까? 다음을 얻는다.

$$\begin{array}{rcl}\frac{1}{-1}& >& 1\\ -1& >& 1\end{array}$$

이는 분명히 거짓이다. 그래서 부등식에 변수 x를 그냥 곱할 수 없다.

하지만 앞 절에서 언제나 양수인 식을 보았듯이 언제나 음수인 식도 있다. 가장 쉬운 방법은 언제나 양수인 식 앞에 마이너스 부호를 붙이는 것이다. 앞 절에서 함수 cos(x) + 3이 언제나 양수라는 것을 보았다. 식 전체 앞에 마이너스를 붙이면 언제나 음수인 함수 −(cos(x) + 3)을 얻는다.

자연수 지수로 거듭제곱하기와 거듭제곱근 구하기

부등식을 거듭제곱하는 것은 방정식과 마찬가지로 일반적으로 동치 변형이 아니다. 다음 부등식을 보자. x>−2이다. 양변을 제곱하면 어떻게 될까? x²>4를 얻는다. 두 부등식은 동치일까? 두 부등식의 x에 0을 넣으면 어떻게 될까? 첫 번째는 0>−2로 참이다. 두 번째는 0>4로 거짓이다. 따라서 동치 변형을 한 것이 아니다.

부등식을 자연수 지수로 거듭제곱할 수 있는 것은 언제일까? 양변이 음이 아닐(양수이거나 0일) 때이다. 그러면 문제가 없다. 예를 보자.

$$\begin{array}{rcl}5& >& 2{/}^2\\ 25& >& 4\end{array}$$

음이 아닌 수를 내놓는 절댓값도 예가 된다. 그래서 다음 부등식은 걱정 없이 제곱할 수 있다.

$$\begin{array}{rcl}|x|& <& 3{/}^2\\ |x{|}^2& <& 9\end{array}$$

거듭제곱근도 거듭제곱과 똑같다. 양변이 음이 아니면 부등식의 양변에 자연수 차수의 거듭제곱근을 취할 수 있다. 그래서 앞의 부등식을 다시 원래 꼴로 되돌릴 수 있다.

$$\begin{array}{rcl}|x{|}^2& <& 9/\sqrt{}\\ |x|& <& 3\end{array}$$

불필요한 식 없애기

f(x)>0 꼴의 부등식을 푸는 경우가 많다. 이때 함수 f가 복잡해서 몇몇 식을 없애면 간단해지는 경우가 있다. 다음 부등식을 보자. 2x>0이다. 이 부등식은 분명히 x>0일 때 성립한다. x가 음수이면 2x도 음수이다. 음수에 2를 곱해도 음수 그대로이다. 2를 곱해서는 뒤따르는 식의 부호를 바꿀 수 없다.

부등식 5x>0, 157x>0, π x>0도 풀어 보자. 해는 모두 x>0으로 같다. x 앞의 양의 계수는 부등식의 해를 바꾸지 않는다.

형식적으로는 부등식을 그 계수로 나누어 계수를 없앤다.

$$\begin{array}{rcl}2x& >& 0/÷2\\ x& >& 0\end{array}$$

주의하자. 양의 계수(이를 a라고 하자)를 없애려면 그 계수가 좌변 전체에 곱해져 있어야 한다. 부등식 2x + 7>0에서는 2가 좌변 전체에 곱해져 있지 않으므로 2를 없앨 수 없다. 하지만 부등식 전체를 2로 나눌 수는 있고, 그러면 부등식 x + 3.5>0을 얻는다.

다음 예도 비슷하다.

$$x^2\cdot (x-3)>0$$

복잡해 보이지만 식 x²은 언제나 음이 아니므로 뒤따르는 괄호의 부호를 바꾸지 않는다. 그래서 이 식은 부등식에서 없앨 수 있다. 부등식을 x²으로 나누면 다음을 얻는다.

$$x-3>0$$

다만 0으로는 나눌 수 없으므로 x² ≠ 0이라는 조건을 붙여야 한다. 그런데 x²은 x가 0일 때만 0이고, x = 0에서는 부등식이 성립하지 않는다. (x = 0): 0(0 − 3)>0이 되고 0>0은 거짓이기 때문이다.

이는 특별한 방법이 아니라, 앞에서 본 양수인 식을 곱하고 나누는 변형을 솜씨 있게 적용한 것일 뿐이다.