허근을 갖는 이차방정식

이차방정식을 풀다가 판별식이 음수가 나오면 그 방정식은 실수 범위에서 해가 없다. 하지만 이런 방정식도 복소수 범위에서는 언제나 해가 있다.

들어가며

다음 이차방정식을 풀어 보자. x² + 2x + 5 = 0이다. 먼저 판별식을 구한다. D = 4 − 20 = −16이다. 알다시피 이 방정식은 실수 범위에서 해가 없다. 그런데 복소수를 쓰면 음수의 제곱근도 구할 수 있다. i² = −1이므로 판별식을 −16 = 16i²으로 쓸 수 있다. 이 수의 제곱근을 구하면 4i이다. 이차방정식의 해를 구한다.

$x_{1} = \frac{- 2 + \sqrt{16 i^{2}}}{2} = \frac{- 2 + 4 i}{2} = \frac{2 (- 1 + 2 i)}{2} = 2 i - 1.$

$x_{2} = \frac{- 2 - \sqrt{16 i^{2}}}{2} = \frac{- 2 - 4 i}{2} = \frac{2 (- 1 - 2 i)}{2} = - 2 i - 1.$

공식과 관계

앞의 예에서 판별식이 음수일 때 이차방정식의 근을 구하는 공식을 얻을 수 있다.

$x_{1, 2} = \frac{- b \pm i \sqrt{| D |}}{2 a} .$

따라서 모든 이차방정식은 해가 있다. 판별식이 음수가 아니면 실수로 충분하고, 판별식이 음수이면 복소수 범위에서 풀어야 한다. 일반적으로 모든 이차방정식은 복소수 범위에서 해가 있다고 할 수 있다.

이런 허근에 대해서도 근과 계수의 관계가 성립한다. 먼저 합에 대한 유도이다.

$\begin{array}{rcl} x_{1} + x_{2} & = & \frac{- b + i \sqrt{| D |}}{2 a} + \frac{- b - i \sqrt{| D |}}{2 a} \\ = & \frac{- b + i \sqrt{| D |} - b - i \sqrt{| D |}}{2 a} \\ = & \frac{- 2 b}{2 a} = - \frac{b}{a} \end{array}$

다음은 곱이다. 판별식은 음수인데 그 제곱근을 구해야 하므로, 양수인 −D로 계산한다. 즉 |D| 대신 −D라고 쓰며, 결과는 같다.

$\begin{array}{rcl} x_{1} \cdot x_{2} & = & \frac{- b + i \sqrt{- D}}{2 a} \cdot \frac{- b - i \sqrt{- D}}{2 a} \\ = & \frac{b^{2} + b \cdot i \sqrt{- D} - b \cdot i \sqrt{- D} - (- D) i^{2}}{4 a^{2}} \\ = & \frac{b^{2} + D i^{2}}{4 a^{2}} \\ = & \frac{b^{2} - D}{4 a^{2}} \\ = & \frac{b^{2} - (b^{2} - 4 a c)}{4 a^{2}} \\ = & \frac{4 a c}{4 a^{2}} = \frac{c}{a} \end{array}$

예제

이차방정식 2x² + 6x + 9 = 0을 푸시오. 판별식을 구하면 D = 36 − 72 = −36이다. 음수이므로 허근 공식을 쓰고 대입하기만 하면 된다.

$x_{1} = \frac{- b + i \sqrt{| D |}}{2 a} = \frac{- 6 + i \sqrt{36}}{4} = \frac{- 6 + 6 i}{4} = \frac{3 (i - 1)}{2} = - \frac{3}{2} + \frac{3 i}{2}$

$x_{2} = \frac{- b - i \sqrt{| D |}}{2 a} = \dots = - \frac{3}{2} - \frac{3 i}{2}$

목차: 이차방정식, 판별식, 매개변수가 있는 이차방정식, 허근을 갖는 이차방정식

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