Phương trình bậc hai trên tập số phức

Nếu khi giải phương trình bậc hai mà biệt thức âm thì phương trình vô nghiệm trên tập số thực. Tuy nhiên, phương trình này luôn có nghiệm trên tập số phức.

Bài toán mở đầu

Ta thử giải phương trình bậc hai sau: x² + 2x + 5 = 0. Trước hết tính biệt thức: Δ= 4 − 20 = −16. Như đã biết, phương trình này vô nghiệm trên tập số thực. Tuy nhiên, số phức có ưu điểm là cho phép lấy căn bậc hai của cả số âm. Vì i² = −1 nên có thể viết biệt thức dưới dạng −16 = 16i². Số này lấy được căn bậc hai, kết quả là 4i. Tính nghiệm của phương trình bậc hai:

$$x_1=\frac{-2+\sqrt{16i^2}}{2}=\frac{-2+4i}{2}=\frac{2(-1+2i)}{2}=2i-1.$$

$$x_2=\frac{-2-\sqrt{16i^2}}{2}=\frac{-2-4i}{2}=\frac{2(-1-2i)}{2}=-2i-1.$$

Công thức và hệ thức

Từ ví dụ trên, có thể suy ra công thức tính nghiệm của phương trình bậc hai khi biệt thức âm:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2a}.$$

Từ đó suy ra mọi phương trình bậc hai đều có nghiệm. Nếu biệt thức không âm thì chỉ cần số thực; nếu biệt thức âm thì phải giải phương trình trên tập số phức. Tổng quát, có thể nói rằng mọi phương trình bậc hai đều có nghiệm trên tập số phức.

Định lí Viète cũng đúng với các nghiệm phức này. Trước hết, chứng minh cho tổng:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1+x_2& =& \frac{-b+i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2a}+\frac{-b-i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2a}\\ & =& \frac{-b+i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}-b-i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2a}\\ & =& \frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}\end{array}$$

Và cho tích. Vì biệt thức âm mà ta cần lấy căn bậc hai của nó, ta tính với số đối của biệt thức, là một số dương. Như vậy, thay cho |Δ| ta viết −Δ, kết quả như nhau.

$$\begin{array}{rcl}{x}_1\cdot x_2& =& \frac{-b+i\sqrt{-\mathrm{\Delta }}}{2a}\cdot \frac{-b-i\sqrt{-\mathrm{\Delta }}}{2a}\\ & =& \frac{b^2+b\cdot i\sqrt{-\mathrm{\Delta }}-b\cdot i\sqrt{-\mathrm{\Delta }}-(-\mathrm{\Delta })i^2}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2+\mathrm{\Delta }{i}^2}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2-\mathrm{\Delta }}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\ & =& \frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\end{array}$$

Ví dụ

Giải phương trình bậc hai 2x² + 6x + 9 = 0. Tính biệt thức: Δ= 36 − 72 = −36. Đây là số âm, nên ta dùng công thức nghiệm phức và chỉ cần thay số:

$$x_1=\frac{-b+i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2a}=\frac{-6+i\sqrt{36}}{4}=\frac{-6+6i}{4}=\frac{3(i-1)}{2}=-\frac{3}{2}+\frac{3i}{2}$$

$$x_2=\frac{-b-i\sqrt{|\mathrm{\Delta }|}}{2a}=\dots =-\frac{3}{2}-\frac{3i}{2}$$