주택담보대출 이자 계산하기

주택담보대출은 부동산, 보통 집이나 아파트를 사려고 받는 대출이다. 주택담보대출에서 내야 하는 이자가 어떻게 계산되는지 알아보자.

연이율과 월 단위 이자 계산

모든 주택담보대출에는 퍼센트로 나타낸 연이율이 정해져 있다. 그래서 “연 3%” 주택담보대출 광고를 볼 수 있다. 여기서 “연”은 “1년에”라는 뜻이다. 단순하고 대략적으로 말하면, 1억 원을 빌리면 1년에 3%, 즉 300만 원을 이자로 낸다.

하지만 실제로는 정확히 300만 원이 아니라 그보다 적게 낸다. 보통 주택담보대출은 매달 갚고, 은행도 그만큼 자주 이자를 계산하기 때문이다. 은행은 1년 이자를 한 번 계산하는 대신 매달 이자를 열두 번 계산한다. 그리고 대출을 조금씩 갚아 나가므로 은행에 빚진 돈이 점점 줄고, 그래서 이자도 점점 줄어든다. 예로 살펴보자. 연이율 3%, 월 상환액 100만 원으로 1억 원을 빌린다고 하자. 첫 번째 이자는 얼마일까?

첫 번째 상환

먼저 월이율을 계산한다. 연이율을 12로 나누어 구한다.

$$\frac{3\mathrm{\%}}{12}=0.25\mathrm{\%}$$

월이율은 0.25%이다. 첫 달에는 은행에 아직 빚진 금액, 즉 1억 원의 0.25%를 낸다. 0.25%는 다음과 같이 계산한다.

$$100000000\cdot 0.25\mathrm{\%}=100000000\cdot 0.0025=250000$$

첫 달에 이자로 은행에 25만 원을 낸다. 월 상환액이 100만 원이므로 첫 달이 지나면 은행에 다음 금액을 빚진다.

$$100000000+250000-1000000=99250000$$

즉 99,250,000원이다. 첫 번째 상환액은 이자로 나간 25만 원과 은행에 진 빚을 줄인 75만 원으로 이루어진다. 이 75만 원을 원금 상환액이라고 한다.

두 번째 상환

두 번째 달은 어떨까? 월이율은 바뀌지 않고 그대로 0.25%이다. 하지만 은행에 빚진 금액은 바뀐다. 이 금액을 원금(대출 잔액)이라고 하며, 첫 달이 지난 뒤에는 99,250,000원이다. 새로운 월 이자는 첫 달과 똑같이 계산하되, 1억 원 대신 99,250,000원으로 계산한다. 즉 99,250,000원의 0.25%를 구한다.

$$99250000\cdot 0.25\mathrm{\%}=99250000\cdot 0.0025=248125$$

두 번째 달의 이자는 25만 원이 아니라 248,125원뿐이다. 빚의 일부를 이미 갚아서 원금이 줄었기 때문이다. 원금 상환액은 다음과 같다.

$$1000000-248125=751875$$

두 번째 달에는 첫 달보다 원금을 더 많이 갚았고, 이제 빚은 모두 다음 금액뿐이다.

$$99250000-751875=98498125$$

그다음 상환…

그다음 상환도 빚이 0이 될 때까지 똑같이 계산한다. 세 번째 달의 이자는 다음과 같다.

$$98498125\cdot 0.25\mathrm{\%}=98498125\cdot 0.0025\fallingdotseq 246245$$

이자 246,245원은 지난달보다 조금 더 작고, 반대로 원금 상환액 753,755원은 조금 더 크다. 그 뒤로 달마다 이자는 점점 작아진다. 은행에 빚진 돈이 점점 줄기 때문이다. 원금 상환액은 점점 커진다. 시간이 지날수록 이자로 내는 돈은 줄고 원금을 갚는 데 쓰이는 돈은 늘어서 대출을 점점 더 빨리 갚게 된다.

연이율이 3%였는데도 이자로 300만 원을 내지는 않는다는 것을 알 수 있다. 이자로 300만 원을 내려면 매달 25만 원씩 이자를 내야 한다. 하지만 실제로는 매달 점점 적게 내므로 결국 이자로 내는 돈은 300만 원보다 적다.

사실 주택담보대출 이자가 어떻게 계산되는지 알기 위해 필요한 것은 이것이 전부이다. 그래도 몇 가지 흥미로운 점을 더 살펴보자.

월이율의 정확한 계산

처음에 월이율을 다음과 같이 계산한다고 했다.

$$\frac{3\mathrm{\%}}{12}=0.25\mathrm{\%}$$

은행이 쓰는 계산법이지만 수학적으로 정확하지는 않다. 은행은 주로 역사적인 이유로 이 방법을 쓴다. 12로 나누는 것이 수학적으로 정확한 방법보다 그냥 더 간단하기 때문이다. 월이율을 계산하는 목적은 무엇일까? 1억 원에 대한 연이율 3%는 고객이 1년에 이자로 300만 원을 낸다는 뜻이다. 고객이 1년 내내 대출을 갚지 않고 이자만 계속 붙게 둔다고 상상해 보자. 열두 달 뒤에 이자가 정확히 300만 원이 되려면 월이율이 얼마여야 할까? “12로 나누기” 방법을 쓰면 300만 원보다 많아진다. 직접 계산해 보자.

먼저 원금에 이자를 붙이는 간단한 방법을 보자. 월이율을 0.25%로 계산했다면, 이자를 붙인 금액은 원금에 1.0025를 곱해서 얻는다.

$$100000000\cdot 1.0025=100250000$$

갚지 않고 두 달이 지나면 원금은 다음과 같다.

$$100000000\cdot 1.0025\cdot 1.0025=100500625$$

즉 이자를 붙이고 싶은 횟수만큼 1억 원에 1.0025를 곱한다. 이를 간단히 하려면 거듭제곱을 쓰면 된다. 다음이 성립하므로

$$1.0025\cdot 1.0025={1.0025}^2$$

다음과 같이 쓸 수 있다.

$$100000000\cdot {1.0025}^2=100500625$$

12개월 뒤의 금액을 구해 보자.

$$100000000\cdot {1.0025}^{12}=103041596$$

12개월 뒤의 원금은 103,041,596원으로, 원래 되어야 할 금액보다 41,596원 많다. 뭐… 솔직히 큰 차이는 아니지만, 아무튼 정확한 결과는 아니다. 어떻게 바로잡을까?

다시 주택담보대출의 연이율로 돌아가 보자. 원금에 연 3%의 이자를 붙이면 원금이 얼마가 되는지는 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$100000000\cdot 1.03=103000000$$

이제 1.03을 똑같은 수 열두 개의 곱으로 나타내고 싶다. 그 수가 1에 월이율을 더한 값이다. 즉 똑같은 수 열두 개를 곱해서 1.03이 되는 수는 무엇일까? 1.03의 12제곱근이다.

$$1.03=\sqrt[12]{1.03}\cdot \sqrt[12]{1.03}\cdot \dots \cdot \sqrt[12]{1.03}$$

계산해 보면 1.03의 12제곱근은 1.0024662…이다. 12로 나누는 방법으로 얻은 1.0025와 그리 큰 차이는 없다. 하지만 이것이 정확한 결과이다. 월이율이 $\sqrt[12]{1.03}-1$이라면, 1년 동안 갚지 않았을 때 원금은 정확히 3% 늘어난다.

일 이자와 월 이자

흥미롭게도 일부 은행은 주택담보대출의 월 이자를 조금 다르게 계산한다. 연이율을 12로 나누어 월이율을 구하는 방법에는 부작용이 하나 더 있다. 달마다 날수가 다른데도 모든 달의 이율이 같아진다. 2월과 7월의 이율이 같다. 어떻게 해결할까? 일부 은행은 연이율을 360으로 나누어 일 이율을 구하고, 이 일 이율에 그달의 날수를 곱한다.

왜 365나 366이 아니라 360으로 나눌까? 역시 계산이 더 간단하기 때문이다.