Bentuk polar nombor kompleks

Nombor kompleks dalam bentuk Cartes tidak selalu memudahkan kerja. Oleh itu, kita memperkenalkan satu lagi bentuk nombor kompleks, iaitu bentuk polar (juga dipanggil bentuk trigonometri).

Bagaimanakah titik pada satah boleh diwakili?

Kita tahu bahawa dalam perwakilan geometri, nombor kompleks z = x + yi diwakili oleh suatu titik pada satah kompleks. Titik ini mempunyai koordinat (x, y). Dengan cara apakah lagi kita boleh menentukan titik z itu selain menyenaraikan koordinat (x, y)?

Kita boleh mengira sudut antara garis yang menyambungkan titik z dengan asalan dan paksi-x (tepatnya, bahagian positif paksi itu). Dengan sudut ini, kita tahu arah titik z dari asalan. Untuk mengetahui kedudukannya dengan tepat, kita juga perlu tahu jaraknya dari asalan. Dengan dua maklumat ini, kita dapat menentukan titik z pada satah kompleks dengan tepat.

Bentuk polar

Rajah berikut meringkaskan semua yang perlu kita ketahui untuk mengungkapkan nombor kompleks dalam bentuk polar:

Seperti yang kelihatan, kita perlu mengetahui panjang garis dari titik z ke asalan, iaitu modulus nombor z — yang sudah kita tahu cara mengiranya. Kita juga perlu mengetahui sudut φ. Bentuk polar nombor kompleks kemudiannya adalah seperti berikut:

$$z=|z|(\mathrm{kos}\phi +i\sin \phi )$$

Bagaimanakah kita mencari sudut φ? Kita menggunakan fungsi trigonometri. Di sini terdapat segi tiga bersudut tegak dan kita tahu panjang hipotenusnya, iaitu modulus nombor z. Bentuk polar mengandungi sinus dan kosinus, jadi kita perlu mengungkapkan sudut φ menggunakan kedua-dua fungsi ini. Daripada sifat fungsi trigonometri, kita tahu bahawa:

$$\begin{array}{rcl}\sin \phi & =& \frac{y}{|z|}\\ \mathrm{kos}\phi & =& \frac{x}{|z|}\end{array}$$

Daripada rumus ini kita boleh menentukan sudut φ itu sendiri. Kita perlu mencari sudut ini kerana bentuk polar ditulis bersama sinus dan kosinusnya.

Contoh

Tukarkan nombor kompleks dalam bentuk Cartes $z=\sqrt{3}+i$ kepada bentuk polar. Mula-mula, kita hitung modulus nombor z:

$$|z|=\sqrt{3+1}=2$$

Sekarang kita peroleh:

$$\begin{array}{rcl}\sin \phi & =& \frac{1}{2}\\ \mathrm{kos}\phi & =& \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}$$

Pada peringkat ini, kita boleh menggunakan kalkulator dan mengira sin⁻¹ dan kos⁻¹, atau kita boleh menggunakan jadual nilai trigonometri bagi sudut khas. Kedua-dua nilai yang kita peroleh terdapat dalam jadual itu, jadi kali ini kita tidak memerlukan kalkulator.

Jika $\sin \phi =\frac{1}{2}$, maka sudut φ ialah π/6 atau 5π/6. Jika $\mathrm{kos}\phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$, maka sudut φ ialah π/6 atau 11π/6. Persilangan kedua-dua kemungkinan ini ialah sudut π/6. Dengan sudut ini, kita memperoleh nilai-nilai yang kita tulis dalam persamaan sebelum ini.

Pendaraban dan pembahagian

Nombor kompleks dalam bentuk polar tentu sahaja boleh didarab dan dibahagi. Dengan menggunakan rumus sudut majmuk, kita boleh memperoleh rumus bagi hasil darab dan hasil bahagi dua nombor kompleks. Katakan kita mempunyai dua nombor kompleks z₁ dan z₂:

$$\begin{array}{rcl}{z}_1& =& |z_1|(\mathrm{kos}{\phi }_1+i\sin {\phi }_1)\\ z_2& =& |z_2|(\mathrm{kos}{\phi }_2+i\sin {\phi }_2)\end{array}$$

Rumus-rumusnya adalah seperti berikut:

$$\begin{array}{rcl}{z}_1\cdot z_2& =& |z_1|\cdot |z_2|[\mathrm{kos}({\phi }_1+{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1+{\phi }_2)]\\ \frac{z_1}{z_2}& =& \frac{|z_1|}{|z_2|}[\mathrm{kos}({\phi }_1-{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1-{\phi }_2)]\end{array}$$