Định lí sin và định lí côsin

Định lí sin là định lí đúng trong tam giác bất kì, khác với các tỉ số lượng giác thông thường. Nó cho biết mối liên hệ giữa độ dài các cạnh và các góc. Định lí côsin cũng đúng trong tam giác bất kì, và trường hợp đặc biệt của nó là định lí Pythagore.

Định lí sin

Định lí sin nói rằng trong một tam giác bất kì (!), tỉ số giữa độ dài mỗi cạnh và sin của góc đối diện với cạnh đó là không đổi. Ta viết:

$$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2r,$$

trong đó r là bán kính đường tròn ngoại tiếp, còn a, b và c là độ dài các cạnh của tam giác. Đẳng thức trên cũng có thể viết lại dưới dạng:

$$\frac{a}{b}=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta },\frac{b}{c}=\frac{\sin \beta }{\sin \gamma },\frac{c}{a}=\frac{\sin \gamma }{\sin \alpha }$$

Định lí côsin

Giống như định lí sin, định lí côsin cũng đúng trong tam giác bất kì. Định lí côsin phát biểu như sau:

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha \\ b^2& =& c^2+a^2-2ca\cdot \cos \beta \\ c^2& =& a^2+b^2-2ab\cdot \cos \gamma \end{array}$$

Để ý rằng nếu một trong các góc là góc vuông, tức có số đo 90 độ, thì trong một công thức, phần cuối sẽ biến mất và ta được định lí Pythagore. Thật vậy, nếu α = 90° thì cos(α) = 0, nên ta được:

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha \\ a^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot 0\\ a^2& =& b^2+c^2\end{array}$$

Ví dụ mở đầu

Cho tam giác ABC có cạnh c dài |c| = 9. Số đo các góc là: α = 40°, β = 80°, γ = 60°. Câu hỏi là hai cạnh còn lại dài bao nhiêu? Lúc này các tỉ số lượng giác thông thường không còn đủ, vì chúng chỉ dùng được trong tam giác vuông, mà tam giác này chắc chắn không vuông. Hình vẽ:

Lúc này phải dùng cách khác. Một trong số đó chính là định lí sin. Áp dụng nó thế nào? Định lí sin cho ta:

$$\frac{|a|}{\sin \alpha }=\frac{|b|}{\sin \beta }=\frac{|c|}{\sin \gamma }$$

Trong đó ta biết tất cả các góc và độ dài cạnh c. Vậy cạnh b tính được từ đẳng thức

$$\frac{|b|}{\sin \beta }=\frac{|c|}{\sin \gamma }$$

Ở đây cần biểu diễn độ dài cạnh b. Thực hiện phép biến đổi tương đương: nhân hai vế với sin của góc beta. Ta được:

$$|b|=\frac{|c|\cdot \sin \beta }{\sin \gamma }$$

Mọi biểu thức ở vế phải đều đã biết hoặc tính được. Thay số:

$$|b|=\frac{9\cdot \mathrm{0,985}}{\mathrm{0,866}}=10,23.$$

Hoàn toàn tương tự, ta tính cạnh còn lại a:

$$\frac{|a|}{\sin \alpha }=\frac{|c|}{\sin \gamma }$$

Biểu diễn |a| bằng cách nhân hai vế với sin của góc alpha.

$$|a|=\frac{|c|\cdot \sin \alpha }{\sin \gamma }$$

Tính kết quả:

$$|a|=\frac{9\cdot \mathrm{0,642}}{\mathrm{0,866}}=\mathrm{6,672}$$

Chứng minh định lí sin

Vì sao đẳng thức sin đúng? Xét một tam giác ABC bình thường, trong đó vẽ thêm đường cao ứng với cạnh c.

Câu hỏi là đoạn CP_c dài bao nhiêu. Nhờ đường cao, tam giác ABC được chia thành hai tam giác vuông, và nhờ chúng có thể biểu diễn độ dài đường cao. Ta thử biểu diễn độ dài đoạn CP_c qua cả hai tam giác. Sin của góc alpha bằng:

$$\sin (\alpha )=\frac{|C{P}_c|}{|AC|}$$

Từ đó biểu diễn |CP_c|:

$$|C{P}_c|=\sin (\alpha )\cdot |AC|=\sin (\alpha )\cdot |b|.$$

Bây giờ biểu diễn độ dài đoạn CP_c qua tam giác thứ hai, nhờ góc beta:

$$\sin (\beta )=\frac{|C{P}_c|}{|BC|}$$

Từ đó lại rút |CP_c|:

$$|C{P}_c|=\sin (\beta )\cdot |BC|=\sin (\beta )\cdot |a|$$

Như vậy độ dài đường cao được biểu diễn bằng hai công thức:

$$|C{P}_c|=\sin (\alpha )\cdot |b|=\sin (\beta )\cdot |a|,$$

nên ta có đẳng thức

$$\sin (\alpha )\cdot |b|=\sin (\beta )\cdot |a|.$$

Đến đây chỉ còn một bước nhỏ nữa là tới điều mà định lí sin khẳng định. Chia hai vế cho tích sin alpha nhân sin beta:

$$\begin{array}{rcl}\sin (\alpha )\cdot |b|& =& \sin (\beta )\cdot |a|/:\sin (\alpha )\cdot \sin (\beta )\\ \frac{\sin (\alpha )\cdot |b|}{\sin (\alpha )\cdot \sin (\beta )}& =& \frac{\sin (\beta )\cdot |a|}{\sin (\alpha )\cdot \sin (\beta )}/\text{rút gọn các sin}\\ \frac{|b|}{\sin (\beta )}& =& \frac{|a|}{\sin (\alpha )}\end{array}$$

Ở trên ta đã chứng minh một phần của định lí sin; chứng minh cho các cặp cạnh còn lại hoàn toàn tương tự.