11의 배수 판정법

정수가 11로 나누어떨어지는지는 어떻게 알 수 있을까? 조금 변형한 각 자리 숫자의 합(각 자리 숫자의 교대합)을 이용한다. 보통 각 자리 숫자의 합은 그 수의 숫자를 모두 더한 것이다. 예를 들어 8,261의 각 자리 숫자의 합은 8 + 2 + 6 + 1 = 17이다. 이 합은 3의 배수인지 판정할 때는 도움이 되지만, 11의 배수인지 판정하려면 조금 바꿔야 한다.

숫자를 계속 더하는 대신 다음과 같이 덧셈과 뺄셈을 번갈아 한다.

$$8-2+6-1=11$$

처음에는 더하고, 다음에는 빼고, 이렇게 번갈아 한다. 결과가 11로 나누어떨어지는 수이면 원래 수도 11로 나누어떨어진다. 이 경우 변형한 합이 11이므로 8,261은 11로 나누어떨어진다. 합이 0이 나올 수도 있는데, 이때도 그 수는 11로 나누어떨어진다. 예를 들어 132는 합이 1 − 3 + 2 = 0이므로 11로 나누어떨어진다.

변형한 합이 음수가 나올 수도 있다. 예를 들어 1,727은 합이 1 − 7 + 2 − 7 = −11이다. 그런데 −11도 11로 나누어떨어지므로 1,727은 11로 나누어떨어진다.

마지막으로 11로 나누어떨어지지 않는 수의 예로 500을 들자. 변형한 합은 5이고, 5는 11로 나누어떨어지지 않는다.