사인법칙과 코사인법칙

사인법칙은 직각삼각형에서 정의하는 보통의 삼각비와 달리 일반적인 삼각형에서 성립하는 정리이다. 사인법칙은 변의 길이와 각 사이의 관계를 알려 준다. 코사인법칙도 일반적인 삼각형에서 성립하며, 피타고라스 정리는 그 특별한 경우이다.

사인법칙

사인법칙에 따르면 일반적인(!) 삼각형에서 각 변의 길이와 그 대각의 사인값의 비는 일정하다. 식으로 쓰면 다음과 같다.

$$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2R,$$

여기서 R은 외접원의 반지름이고, a, b, c는 삼각형의 변의 길이이다. 앞의 등식은 다음과 같이 쓸 수도 있다.

$$\frac{a}{b}=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta },\frac{b}{c}=\frac{\sin \beta }{\sin \gamma },\frac{c}{a}=\frac{\sin \gamma }{\sin \alpha }$$

코사인법칙

코사인법칙도 사인법칙처럼 일반적인 삼각형에서 성립한다. 코사인법칙은 다음과 같다.

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha \\ b^2& =& c^2+a^2-2ca\cdot \cos \beta \\ c^2& =& a^2+b^2-2ab\cdot \cos \gamma \end{array}$$

한 각이 직각, 즉 크기가 90°이면 공식 하나에서 마지막 항이 사라져 피타고라스 정리의 꼴이 된다는 점에 주목하자. α = 90°이면 cos(α) = 0이므로 다음을 얻는다.

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha \\ a^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot 0\\ a^2& =& b^2+c^2\end{array}$$

들어가며

삼각형 ABC에서 변 c의 길이가 |c| = 9이고, 각의 크기가 α = 40°, β = 80°, γ = 60°라고 하자. 나머지 두 변의 길이는 얼마일까? 이 삼각형은 직각삼각형이 아니므로 직각삼각형에서 쓰는 보통의 삼각비만으로는 구할 수 없다. 그림은 다음과 같다.

이럴 때는 다른 방법을 써야 하는데, 그중 하나가 사인법칙이다. 어떻게 쓸까? 사인법칙에 따르면 다음이 성립한다.

$$\frac{|a|}{\sin \alpha }=\frac{|b|}{\sin \beta }=\frac{|c|}{\sin \gamma }$$

여기서 모든 각과 변 c의 길이를 알고 있다. 그래서 변 b는 다음 등식에서 구한다.

$$\frac{|b|}{\sin \beta }=\frac{|c|}{\sin \gamma }$$

여기서 변 b의 길이에 대해 정리해야 한다. 등식의 성질을 이용해 양변에 sin β를 곱하면 다음을 얻는다.

$$|b|=\frac{|c|\cdot \sin \beta }{\sin \gamma }$$

우변의 값은 모두 알고 있거나 계산할 수 있으므로 대입한다.

$$|b|=\frac{9\cdot 0.985}{0.866}=10.23.$$

같은 방법으로 나머지 변 a를 구한다.

$$\frac{|a|}{\sin \alpha }=\frac{|c|}{\sin \gamma }$$

양변에 sin α를 곱해 |a|에 대해 정리한다.

$$|a|=\frac{|c|\cdot \sin \alpha }{\sin \gamma }$$

결과를 계산한다.

$$|a|=\frac{9\cdot 0.642}{0.866}=6.672$$

사인법칙의 유도

사인법칙은 왜 성립할까? 보통의 삼각형 ABC에 변 c에 대한 높이를 그려 보자.

선분 CP_c의 길이는 얼마일까? 높이가 삼각형 ABC를 두 직각삼각형으로 나누므로, 이 두 삼각형을 이용해 높이를 나타낼 수 있다. 두 삼각형 각각으로 선분 CP_c의 길이를 나타내 보자. 각 알파의 사인은 다음과 같다.

$$\sin (\alpha )=\frac{|C{P}_c|}{|AC|}$$

여기서 |CP_c|를 구하면 다음과 같다.

$$|C{P}_c|=\sin (\alpha )\cdot |AC|=\sin (\alpha )\cdot |b|.$$

이번에는 다른 삼각형에서 각 베타를 이용해 선분 CP_c의 길이를 나타낸다.

$$\sin (\beta )=\frac{|C{P}_c|}{|BC|}$$

여기서도 |CP_c|에 대해 정리한다.

$$|C{P}_c|=\sin (\beta )\cdot |BC|=\sin (\beta )\cdot |a|$$

이렇게 높이의 길이를 두 가지 식으로 나타냈다.

$$|C{P}_c|=\sin (\alpha )\cdot |b|=\sin (\beta )\cdot |a|,$$

따라서 다음 등식을 얻는다.

$$\sin (\alpha )\cdot |b|=\sin (\beta )\cdot |a|.$$

사인법칙까지 얼마 남지 않았다. 양변을 sin α · sin β로 나눈다.

$$\begin{array}{rcl}\sin (\alpha )\cdot |b|& =& \sin (\beta )\cdot |a|/÷\sin (\alpha )\cdot \sin (\beta )\\ \frac{\sin (\alpha )\cdot |b|}{\sin (\alpha )\cdot \sin (\beta )}& =& \frac{\sin (\beta )\cdot |a|}{\sin (\alpha )\cdot \sin (\beta )}/\text{사인으로 약분}\\ \frac{|b|}{\sin (\beta )}& =& \frac{|a|}{\sin (\alpha )}\end{array}$$

이렇게 사인법칙의 일부를 증명했고, 다른 변의 조합에 대해서도 증명은 똑같다.